Matematyka.pl

Wykaż że \(\displaystyle{ 3|7^n -1}\)

Dowód metodą indukcji.

1.Sprawdzamy prawdziwość tezy dla n=1

\(\displaystyle{ 7^1 -1=6}\) i 6:3=2

2.Zakładamy prawdziwość tezy dla n=k

\(\displaystyle{ 7^k-1=3L}\) L-całkowite
do tego momentu wszystko jest OK ale gdy jedynke przerzuce na drugą strone:
\(\displaystyle{ 7^k=3L+1}\)


3.Teza dla n=k+1
TEZA: \(\displaystyle{ 7^{k+1} -1=3M}\) M-całkowite

Dowód:
L=\(\displaystyle{ 7^{k+1}-1=7*7^k-1=}\)(z przekształconego założenia indukcyjnego)\(\displaystyle{ =7*( 3L+1) -1= 21L+7-1=21L+6=3(7L+2)}\)=P bo (7L+2)-całkowite c.n.d

DS88 pisze:Można więc przekształcać założenie czy nie

Jasne, że można. Nieraz tak robiliśmy z nauczycielem podczas rozwiązywania zadań i było dobrze Tylko, że lepiej to napisać jako osobne równanie.

u nas zawsze tak robimy, pozdro

Założenie indukcyjne można przekształcać, jak każde inne założenie. Jedynym wytłumaczeniem zachowania nauczyciela jest dla mnie jego ewentualna obawa, by uczniowie nie przesadzili z tym przekształcaniem założenia. Ale tu raczej należałoby popracować chwilę z uczniami, by dobrze zrozumieli logiczną strukturę dowodu indukcyjnego.
JK