Matematyka.pl

Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{a^{3}-2a^{2}+3}{a^{2}-2a}}\) jest także całkowita liczbą ?

\(\displaystyle{ \frac{a^3-2a^2+3}{a^2-2a}=\frac{a(a^2-2a)+3}{a^2-2a}=a+\frac{3}{a^2-2a}\\a^2-2a=\{-3;-1;1;3\}}\)
Dalej już policzysz .

Oczywiście z założenia \(\displaystyle{ a 0 a 2}\). Teraz przekształcamy wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac{ a^3-2a^2+3}{a^2-2a}=\frac{a(a^2-2a)+3}{a^2-2a}=a+\frac{3}{a^2-2a}}\)
Czyli wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{3}{a^2-2a}}\) musi być całkowite, więc mianownik musi być dzielnikiem licznika. Stąd rozpatrujemy cztery przypadki:
1. \(\displaystyle{ a^2-2a=-3}\)
\(\displaystyle{ a^2-2a+3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta
2. \(\displaystyle{ a^2-2a=-1}\)
\(\displaystyle{ a^2-2a+1=0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ a-1=0}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
3. \(\displaystyle{ a^2-2a=1}\)
\(\displaystyle{ a^2-2a-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8; \sqrt{ \Delta}=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a=1- \sqrt{2} a=\1+ \sqrt{2}}\)- ale nie spełnia to warunku, by a było całkowite, więc odpadają te 2 rozwiązania
4. \(\displaystyle{ a^2-2a=3}\)
\(\displaystyle{ a^2-2a-3=0}\)
\(\displaystyle{ a^2+a-3a-3=0}\)
\(\displaystyle{ a(a+1)-3(a+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (a+1)(a-3)=0}\)
\(\displaystyle{ a=-1 a=3}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ a \{ -1, 1 ,3 \}}\), dane wyrażenie jest całkowite.}\)