Matematyka.pl

dla jakich wartosci parametru m równanie \(\displaystyle{ \sin ^ {2}x + \sin x +m=0}\) ma rozwiazania?

Wprowadzając zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t= \sin x}\), gdzie \(\displaystyle{ -1 \leq t \leq 1}\) otrzymujemy równanie postaci \(\displaystyle{ t^2+t+m}\).
Dane równanie trygonometryczne ma rozwiązanie w zbiorze \(\displaystyle{ R}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dane równanie kwadratowe ma rozwiązania należące do przedziału \(\displaystyle{ }\). Niech \(\displaystyle{ f(t)=t^2+t+m}\) i \(\displaystyle{ D_{f}=}\). Wykresem funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej w zbiorze \(\displaystyle{ D_{f}}\) jest część paraboli o wierzchołku \(\displaystyle{ W=(-\frac{1}{2}; \frac{ -1+4m}{4})}\). Wartość rzędnej więrzchołka paraboli zależy od wartości parametru \(\displaystyle{ m}\). Gdy \(\displaystyle{ \frac{-1+4m}{4} \leq 0}\), to wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) ma co najmniej jeden punkt przecięcia z osią t, czyli funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Zatem dane równanie ma rozwiązania należące do zbioru \(\displaystyle{ D_{f}}\), gdy spełniona jest alternatywa warunków:
1. \(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}\frac{-1+4m}{4} \leq 0 \\ f(-1) \geq 0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}m \leq \frac{1}{4} \\ m \geq 0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ m \in}\)
2. \(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}\frac{-1+4m}{4} \leq 0 \\ f(1) \geq 0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}m \leq \frac{1}{4} \\ m \geq -2 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ m \in}\)
Sumą warunku pierwszego i drugiego jest przedział \(\displaystyle{ }\).
Równanie ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych dla parametru \(\displaystyle{ m \in}\)

prosze podstawic m=-2 i sprawdzic czy sie zgadza

darekby Zgadza sie dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

tak oczywiscie pomylka

czy ktos moze mi wytłumaczyć skad sie wzielo (czemu akurat tak zapisujemy) \(\displaystyle{ f(-1) q 0 \end{array}}\) oraz \(\displaystyle{ f(1) q 0 \end{array}}\), zauwazylem ze trzeba w tego typu zadaniach robic takie zaloznia ale nie wiem kiedy dokladnie... i jeszcze raz prosze o dokladne wytlumacznie

Mam nadzieje ze wyjasni ci moj mini rysuneczek w PAINCIE



Obczaj sobie powoli to skapujesz POZDRO