Matematyka.pl

Witam!

Mam problem z dwoma zadaniami Mianowicie:

1. Pewna liczba naturalna, mniejsza od 2000, ma tę własność, że gdy od niej odejmiemy 120, to wynik będzie podzielny przez 24, gdy zaś od niej odejmiemy 92, to wynik będzie podzielny przez 46. Znajdź tę liczbę

2. Znajdź liczbę naturalną mniejszą od 1000, która przy dzieleniu przez 10 daje resztę 9, przy dzieleniu przez 15- resztę 14, a przy dzieleniu przez 21-resztę 20.

Prosiłbym również o wytłumaczenie pokrótce jak to zrobić, bo kompletnie nie mam na to pomysłu ;(

Chińskie twierdzenie o resztach. Kongruencje. Ale chyba nie ten poziom :/

Inkwizytor pisze:Chińskie twierdzenie o resztach. Kongruencje. Ale chyba nie ten poziom :/

Na pewno nie ale dzięki

zad.1. Należy zauważyć, że
\(\displaystyle{ 24\mid x-120 \Leftrightarrow 24\mid x - 5 \cdot 24 \Leftrightarrow 24\mid x}\)
oraz
\(\displaystyle{ 46\mid x-92 \Leftrightarrow 46\mid x - 2 \cdot 46 \Leftrightarrow 46\mid x}\)

Czyli szukana liczba \(\displaystyle{ x}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 46}\) i \(\displaystyle{ 24}\).
Korzystając z równości:
\(\displaystyle{ NWD(a,b) \cdot NWW(a,b) = a \cdot b}\)

\(\displaystyle{ NWW(46,24) = \frac{a \cdot b}{NWD(46,24)} = \frac{1104}{2} = 552}\)

\(\displaystyle{ 552}\) jest najmniejszą liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 46}\) i \(\displaystyle{ 24}\). Liczby mniejsze od \(\displaystyle{ 2000}\) będące podzielne przez \(\displaystyle{ 46}\) i \(\displaystyle{ 24}\) to \(\displaystyle{ 552, 1104, 1656}\).

. Należy zauważyć, że
\(\displaystyle{ 24\mid x-120 \Leftrightarrow 24\mid x - 5 \cdot 24 \Leftrightarrow 24\mid x}\)
oraz
\(\displaystyle{ 46\mid x-92 \Leftrightarrow 46\mid x - 2 \cdot 46 \Leftrightarrow 46\mid x}\)

Jak na razie z powyższego wynika, że \(\displaystyle{ 120=92=0}\), co jest interesujące.

JankoS pisze:Jak na razie z powyższego wynika, że \(\displaystyle{ 120=92=0}\), co jest interesujące.

To interesujący wniosek, ale zupełnie nie wiem, skąd go wyciągnąłeś.

JK