Matematyka.pl

Mam problem z kilkoma zadankami, proszę chociaż o wskazówki:

1. Na trójkacie równoramiennym o polu równym \(\displaystyle{ 3\sqrt{3}}\) opisano okrąg, którego promień wynosi 2. Oblicz długość wysokości tego trójkąta.

2. W trójkącie prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku C obrano punkt P tak, że trójkąty PAB, PBC i PAC mają równe pola. Oblicz odległość punktu P od wierzchołka C, jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ PA^2+PB^2=m}\).

3. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 12 i 5. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz stosunek długości promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty.

AD.1
Oznaczmy sobie podstawe jako b, \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąty przy podstawie. Niech a będzie ramionami trójkąta, zaś \(\displaystyle{ \beta}\) - kąt pomiędzy ramionami.
Korzystając z tw. sinusów mamy następujące równośći:

\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin{\beta}}=2R=4\Longleftrightarrow\sin{\beta}=\frac{b}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{\alpha}}=2R=4\Longleftrightarrow\sin{\alpha}=\frac{a}{4}}\)

Teraz skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta. Wiemy, że z jednej strony \(\displaystyle{ 2P=a^2\sin{\beta}}\), a z drugiej strony wiemy, że \(\displaystyle{ 2P=ab\sin{\alpha}}\).
Podstawiając z pierwszych dwóch równości sinusy i porównując powyższe równania otrzymasz, że a=b, zatem trójkąt ten jest równoboczny. Mając pole trójkąta równobocznego można obliczyć długość jego boku, a mając długość jego boku znalezienie długosći wysokości nie jest trudne.

AD. 3
Zaczniemy od obliczenia długości odcinków na jakie podzieliła prosta wychodząca z wierzchołka kąta prostego, przeciwprostokąntą. ABC to kolejne wierzchołki trójkąta, gdzie BC jest przeciwprostokatną, a D punktem znajdującym się na tej przeciwprostokątnej. Skoro obwody trójkątów ABD i ACD są równe, mamy następująca równość: AB+BD=AC+CD czyli 12+BD=13-BD+5 czyli BD=3 oraz CD=10.

Oznaczmy promień okregu wpisanego w trójkąt ABD jako r1, a trójkąta ACD jako r2. Ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt układam równanie (\(\displaystyle{ r=\frac{P}{p}}\)):

\(\displaystyle{ \frac{r_1}{r_2}=\frac{P_{ABD}}{P_{ACD}}}\)

Pola tych trójkątów można już prosto policzyć chodźby korzystajac ze wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\sin{\alpha}}\). Sinusy kątów ACD i ABD już prosto policzyć jako, że są to kąty w trójkącie prostokątnym