Matematyka.pl

Kąt ostry rombu ma miarę 45 st., dłuzsza przekątna wynosi \(\displaystyle{ 10sqrt{2}}\) Oblicz:
a) pole rombu
b) pole koła wpisanego w ten romb

Kąt rozwarty tego rombu wynosi 135 stopni, bok to \(\displaystyle{ a}\). Korzystamy z tw.cosinusów:
\(\displaystyle{ (10 \sqrt{2})^2=2a^2-2a^2 \cos135^{\circ}}\)
Po długich rachunkach dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ a=10 \sqrt{2- \sqrt{2}}}\).
Korzystamy z wzoru na pole rombu \(\displaystyle{ P=a^2 \sin }\) i otrzymujemy, znów po bardzo przyjemnych rachunkach, że \(\displaystyle{ P=100( \sqrt{2} -1} )}\).
Teraz, aby obliczyć promień koła wpisanego w ten romb, wyliczamy wysokość np. z takiego równania \(\displaystyle{ ah=a^2 \sin }\). Po najprzyjemniejszych rachunkach dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ h=5 \sqrt{2(2+ \sqrt{2})}}\).
Teraz już dzielimy na pół i mamy promień i wstawiamy do wzoru na pole koła, otrzymując, że pole tego koła jest równe \(\displaystyle{ \frac{25(2+\sqrt{2})}{4} \pi}\).

Szybciej i prosciej jest wykorzystac fakt iz przekatne w rombie sie polowia... d1=10\(\displaystyle{ sqrt{2}}\) d2= krotsza przekatna. Mamy trojkat prostokatny liczymy tg22,5 = \(\displaystyle{ \frac{d2}{10sqrt{2}}}\) i mamy juz druga przekatna teraz P=\(\displaystyle{ \frac{d1d2}{2}}\)wiec P=\(\displaystyle{ 100(sqrt{2}-1)}\)

b) a liczymy z pitagorasa (polowa jednej przekatnej i polowa drugiej) P=2ar wyznaczamy r i liczymy pole okregu

a wzory na katy polowkowe znasz?? tgl/2= (1-cosl)/sinl l=45 45/2=22.5