Dziedzina funkcji z parametrem.

[ala2]

Mam problem w rozwiązaniu zadanka, proszę o pomoc:
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{mx^2+4mx+m+3}}}\) oraz funkcji
\(\displaystyle{ f(x) =\frac{1}{\sqrt{(m^2 + m - 6)x^2 +(m-2)x + 1}}}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

[Skrzypu]

Z pierwszej funkcji równanie mx^2+4mx+m+3>0, ponieważ pierwiastek musi być liczony z liczby dodatniej, a dodatkowo, nie może być równy 0 mianownik

\(\displaystyle{ mx^2+4mx+m+3>0\\
\Delta=0\\
\Delta=16m^2-4m(m+3)=16m^2-4m^2-12=12m^2-12\\
\\
12m^2-120\\
m \in (0,1)}\)


Tak samo z drugim równaniem

\(\displaystyle{ (m^2 + m - 6)x^2 +(m-2)x + 10\\
\Delta=(m-2)^2-4(m-2)(m+3)=(m-2)(m-2-4m-3)=(m-2)(-3m-5)\\
\\
\left(m-2\right)\left(-3m-5\right)0\\
m \in \left(-\frac{5}{3}, 2\right)\\
\\
\left(m-2\right)\left(m+3\right)>0\\
m \in \left(-3,2\right)\\
\\
m \in \left(-\frac{5}{3}, 2\right) \wedge m \in \left(-3,2\right)\\
\\
m \in \left(-\frac{5}{3}, 2\right)}\)