Matematyka.pl

Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a, b, c, p, q, r}\) sa różne od \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ p+q+r = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} = \frac{1}{pa+qb+rc}}\), to \(\displaystyle{ a=b=c}\)

Było juz niegdys, trzeba wymnozyc i
\(\displaystyle{ 1=(p+q+r)^2= p^2+q^2+r^2+ 2pq+2pr+2qr \leq p^2+q^2+r^2 + pq(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+ pr(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+ rq(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}) =1}\)
tj a=b=c

dobra wszystko fajnie, dobre dość to jest ale nie bardzo czaje czemu ty za \(\displaystyle{ 2}\) wstawiałeś \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)}\) lub \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right)}\) lub \(\displaystyle{ \left( \frac{c}{b} + \frac{b}{c} \right)}\)

I jak by ktoś mógł to żeby bardziej jeszcze wytłumaczył czemu to jest takie oczywiste, ze z tego równania wynika ze a=b=c

Odpowiedz na pierwsze pytanie wynika z uzycia nierowności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną tzn. dla \(\displaystyle{ a,b>0}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a}{b} +\frac{b}{a} \ge 2}\).
A wniosek,że \(\displaystyle{ a=b=c}\) wynika stąd,że w powyzszej nierówności równośc zachodzi dla \(\displaystyle{ a=b}\) (i odpowiednio dalej mamy, ze \(\displaystyle{ a=c}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ a=b=c}\))

Kamil_B pisze:Odpowiedz na pierwsze pytanie wynika z uzycia nierowności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną tzn. dla \(\displaystyle{ a,b>0}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a}{b} +\frac{b}{a} \ge 2}\).

Wszystko fajnie, tylko z kad sie te nierówności wzięły, jest na to jakies twierdzenie czy cos, bo jak mam to zadanie w szkole pokazac, to przecierz nie powiem ze tak jest bo tak jest, albo ze to oczywiste jest bo to nie przejdzie xD. A jak szukałem tej nierówności pomiedzy średnimi w googlach to nic takiego, co tu napisane jest, mi nie wyszukało D

pewnie znalzłeś taką nierówność między średnimi:
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2x_3...x_n}}\)

no dobra, ale weźmy n=2
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{2} \ge \sqrt{x_1x_2}}\)
no dobra, ale to jest równoważne:
\(\displaystyle{ x_1+x_2 \ge 2\sqrt{x_1x_2}}\)
ok, ale podstawmy \(\displaystyle{ x_1= \frac{a}{b}}\), \(\displaystyle{ x_2= \frac{b}{a}}\).
wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}=2}\)

a jeśli nie mieliście w skzole nierówności między średnimi dla n liczb, to wystarczy pokazać prawdziwość tego:
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{2} \ge \sqrt{x_1x_2}}\)
dowód pozostawiam Tobie.

Jeszcze jedno pytanie, czemu my nie urzywamy tego drugiego równania, tylko czymamy sie caly czas \(\displaystyle{ p+q+r=1}\), bo ja nie widze zwiazku zadnego miedzy tymi \(\displaystyle{ a,b,c}\) co dodajemy to tej nierówności miedzy średnimi a tym drugim równaniem (\(\displaystyle{ \frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} = \frac{1}{pa+qb+rc}}\)). Sorki ze tak medze, ale po prostu chce to do konca zrozumieć, a nie tak ze tak ma być i basta xD

Quote:

Jeszcze jedno pytanie, czemu my nie urzywamy tego drugiego równania,

No uzywamy , tj korzystamy z tego ze
\(\displaystyle{ (\frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} ) (pa+qb+rc)=1}\)