Dowód indukcyjny - nierówność.

[apacz]

Cześć,
Próbuję teraz dowieść, że dla każdego \(\displaystyle{ (n \in N+) \wedge (x > -1)}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ (1+x)^{n} q 1 + nx}\)
Więc na początku sprawdzam dla k0=1, L=P więc tw jest prawdziwe dla k0=1.
Teraz w punkcie 2:
Zakłądam słuszność tw. dla n = k i k należy do N+.
\(\displaystyle{ (1+x)^{k} q 1 + kx}\)
Następnie:
Teza. Zakładam słuszność tw. dla n = k+1 i (k+1) należy do N+.
\(\displaystyle{ (1+x)^{k+1} q 1 + (k+1)x}\)
No właśnie... i teraz nie wiem. Bo w przypadku równości należało lewą stronę przekształcać w prawą a jak się postępuje z nierównościami ?
Zapisałem tak, że:
\(\displaystyle{ L=(1+x)(1+x)^{k}}\)
Mógłby mi ktoś wyjaśnić jak dalej należy to pociągnąć i jak w ogóle postępuje się w przypadku nierówności w dowodach indukcyjnych?

[Tristan]

Korzystając z założenia mamy:
\(\displaystyle{ (1+x)(1+x)^k q (1+x)(1+kx)=1+x+kx+kx^2=kx^2+ 1+(k+1)x q 1+(k+1)x}\), ponieważ \(\displaystyle{ kx^2 q 0}\).

[apacz]

Hm, no ok ale tak podstawiając to by chyba wychodziło:
\(\displaystyle{ (1+x)(1+x)^{k} \geq (1+x)(1+kx)}\)
\(\displaystyle{ (1+x)(1+x){k} \geq kx^{2}+1+(k+1)x}\)
\(\displaystyle{ 1+(k+1)x \geq kx^{2}+1+(k+1)x}\)
Czy ja coś źle patrzę ? :>

[Tristan]

3 nierówność w Twoim zapisie powinna być na odwrót

[apacz]

No właśnie, ale dlaczego jeśli dwie pierwsze są w porządku (o ile są )?

[LecHu :)]

kx� musi byc >=0

[apacz]

nie musi, tylko jest . Ale chodzi mi o ten znak w tej nierówności co napisałem.

[LecHu :)]

\(\displaystyle{ 1+(k+1)x}\) \(\displaystyle{ \geq}\) \(\displaystyle{ kx^{2}+1+(k+1)x}\)
Powinno byc \(\displaystyle{ \leq}\)

[apacz]

Już czaję. Dzięki wielkie.