Matematyka.pl

Witam!

Mam drobny problem z równaniami wykładniczymi z parametrem, tzn. chodzi o to, że nie za bardzo wiem jakie założenia trzeba w tego typu zadaniach zakładać. Prosiłbym o wyjąśnienie.

1. Równanie ma dwa różne pierw. rzeczywiste
2. Równanie ma dokładnie jedno rozw.
3. Równanie ma dwa rozw. jednakowych znaków.

Wiesz to jeszcze zależy czy wprowadzasz zmienna pomocniczą , czy też nie , bo jeżeli wprowadzasz zmienna np \(\displaystyle{ t= a^{x}}\) to wiadomo ,że do t musisz mieć ogólne założenie ,że t>0 i wtedy np do 1. żeby równanie wyjściowe miało dwa różne pierwiastki to to ze zmienna musi mieć dwa różne pierwiastki większe od zera. ,czyli
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} \Delta>0 \\t_{1}\cdot t_{2} >0\\t_{1} + t_{2} >0\end{array}}\)

a jeżeli nie masz zmiennej to warunki będą takie

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} \Delta>0\\x_{1}\cdot x_{2} >0\end{array}}\)

Ok. Wielkie dzięki. Nareszcie dotarło do mnie jak to robić (w sumie to koń by się uśmiał z moich wcześniejsych rozwiązań)

Mam tylko jeszcze jedno pytanko.
Czy warunek 1 i warunek 3 sprowadza się do tego samego? (no bo chyba przy założeniu t>=0 nie jest możliwe żeby pierwiastki przy t były ujemne). Chodzi mi o ten typ równań że wprowadzam zmienną np. t.

to jest tak,ze ogólne założenie do t to t>0 i właśnie teraz w tych warunkach uwzględniasz to założenie (właśnie w tym trzecim warunku , gdzie dodajemy pierwiastki). Najpierw rozwiązujesz ,ze delta jest większa od zera , czyli to ma nam zapewnic dwa różne rozwiązania, drugi warunek przy mnożeniu pierwiastków zapewnia nam ,ze te pierwiastki będą tego samego znaku (czyli do tej pory mamy dwa rozwiązania znaku ujemnego lub dwa dodatniego) a trzeci z dodawaniem tych pierwiastków zapewnia nam ,ze te pierwiastki będą dodatnie.

MasH trochę źle mnie zrozumiałeś. Pytałem o to, czy następujące warunki w zadaniu:

- równanie ma dwa różne pierwiastki,
- równanie ma dwa pierwiastki tego samego znaku

sprowadzają się do tego samego? (no bo nie może być dwóch pierwiastków ujemnych chyba)

po czesci to jest to samo, zauwaz ze w pierwszym podpunkcie masz 2 rozne rozwiazania, ale ze t>0, wiec musza to byc 2 rozwiazania dodatnie, ale zauwaz ze nie masz napisane, ze musza to byc 2 ROZNE pierwiastki, czyli moze to byc jeden kwadratowy:

I \(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}*t_{2}>0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}+t_{2}>0}\)

lub

II \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ t_{0}>0 t_{0}+t_{0}>0}\) Wzory Viete'a

no a jak potem podstawisz do równanie wyjsciowego to wyjdzie ci podwojona liczba pierwiastkow czyli w pioerwszym przypadku wyjdzie ci az 4 pierwiastki a jest pytanie o 2?? z drugim zgodził bym sie. wiec moim zdaniem
\(\displaystyle{ \Delta}\) >0
\(\displaystyle{ t_{1}t_{2}0 i t_{2}}\)

a od kiedy funkcja wykladnicza przyjmuje wartosci ujemne?
np. \(\displaystyle{ t=2^{x}}\) i wyszlo nam ze t=2 lub t=4
\(\displaystyle{ 2^{x}=2}\) lub \(\displaystyle{ 2^{x}=4}\) x=1 lub x=2

otrzymalismy dwa tak jak trzeba bylo a nie 4