Matematyka.pl

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb a i b równanie \(\displaystyle{ \log a \cdot x ^{2}+\log b=\log (ab) ^{x}}\) ma co najmniej jedno rozwiaznie.Kiedy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \log (a) \cdot x ^{2}+\log (b)=\log (ab) ^{x}}\)
czy
\(\displaystyle{ \log (a \cdot x ^{2})+\log (b)=\log (ab) ^{x}}\)
??

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \log a \cdot x^2+ \log b = x \cdot ( \log a + \log b) \\
\log a \cdot x^2 -x \cdot (\log a + \log b) + \log b = 0}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \log a \neq 0}\) (czyli \(\displaystyle{ a \neq 1}\)), to jest to równanie kwadratowe. Jego delta to:
\(\displaystyle{ \Delta = (\log a + \log b)^2 - 4 \log a \cdot \log b = (\log a - \log b)^2}\).
To wyrażenie jest nieujemne, zatem równanie ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie. Jeśli \(\displaystyle{ \Delta = 0}\), czyli \(\displaystyle{ \log a = \log b}\), czyli \(\displaystyle{ a=b}\), to rozwiązanie jest dokładnie jedno.

Osobno trzeba rozpatrzyć przypadek \(\displaystyle{ a=1}\). Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \log b = x \cdot \log b}\)
Jeśli teraz \(\displaystyle{ b\neq 1}\) (czyli \(\displaystyle{ \log b \neq 0}\)), to po podzieleniu przez \(\displaystyle{ \log b}\) dostaniemy \(\displaystyle{ x=1}\), jeśli zaś \(\displaystyle{ b=1}\), to mamy nieskończenie wiele rozwiązań.

Ostatecznie:
- dla \(\displaystyle{ a \neq 1}\), \(\displaystyle{ a\neq b}\) mamy dokładnie dwa rozwiązania;
- dla \(\displaystyle{ a \neq 1}\), \(\displaystyle{ a= b}\) mamy dokładnie jedno rozwiązanie;
- dla \(\displaystyle{ a= 1}\), \(\displaystyle{ b \neq 1}\) mamy też dokładnie jedno rozwiązanie;
- dla \(\displaystyle{ a=b=1}\) mamy nieskończenie wiele rozwiązań.

Q.

Dzięki Oń;)już rozumiem;) jarząbek89 to było to pierwsze