Matematyka.pl

Rozwiazac graficznie

\(\displaystyle{ log_{y}(log_{x}y)\geq0}\)

W tego typu zadaniach należy rozpatrzeć wszystkie możliwe przypadki.

Najpierw założenia:

\(\displaystyle{ x,y>0\,\wedge\,x,y\neq1}\)

Następnie w zależności od wartości \(\displaystyle{ y}\):

\(\displaystyle{ y>1\,\Rightarrow\,log_{x}y\geq1 \\ y\in(0;1)\,\Rightarrow\,log_{x}y\leq1}\)

Teraz do rozwiązania są 2 nierówności:

\(\displaystyle{ log_{x}y\geq1 \\ x>1\,\Rightarrow\,y\geq x \\ x\in(0;1)\,\Rightarrow\,y\leq x \\ log_{x}y\leq1 \\ x>1\,\Rightarrow\,y\leq x \\ x\in(0;1)\,\Rightarrow\,y\geq x}\)

Rozwiązanie, które należy przenieść na układ współrzędnych:

\(\displaystyle{ (y>1\,\wedge\,x>1)\,\Rightarrow\,y\geq x \\ (y>1\,\wedge\,x\in(0;1))\,\Rightarrow\,y\leq x \\ (y\in(0;1)\,\wedge\,x>1)\,\Rightarrow\,y\leq x \\ (y\in(0;1)\,\wedge\,x\in(0;1))\,\Rightarrow\,y\geq x}\)

A rysować każdy umie... Pamiętaj o założeniach.