Matematyka.pl

Mam cztery przykłady...

1) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x-4}{-x+1}}\)

2) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{2}-3x}{2x+1}}\)

3) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x^{2}-7x+12}{2x-(\frac{1}{5})^{-1}}}\)

4) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-x^{3}-6x}{x^{2}+2x}}\)

a że nie było mnie na owej lekcji, gdy to omawiano, nie jestem pewien do końca jak to zrobić...

Najpierw liczę dziedzinę, potem granice przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \pm \infty}\)oraz do liczb(y) wyrzuconej(ych) z dziedziny (prawo i lewostronne), w przykładach 2-4 korzystam z dzielenia wielomianów przez siebie, ale wyniki nie zgadzają mi się z odp. :/

czy mógłby ktoś przedstawić swój tok rozumowania lub/i wyniki?

Njpierw liczysz granice jednostranną w punkcie gdzie funkcja nie jest oznaczona. Gdy granica ta ąży do +/- nieskonczoności to w tym punkcie jest asymptota. Czyla dla podpunktu
a)
Funkcja nie jest oznaczona dla x=1
\(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{-}}\frac{3x-4}{-x+1}=\lim{x\to1}\frac{-7}{[0^{-}]}=\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{+}}\frac{3x-4}{-x+1}=\lim{x\to1}\frac{-7}{[0^{+}]}=-\infty}\)
CZyli istnieje asymptota pionowa w punkcie x=1.
Teraz aymtota pozioma (sprawdzamy czy istnieje granica przy x-> nieskonczonosci.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{3x-4}{-x+1}=-3}\).
Czyli mam asymtote pozioma w punkcie y=-3.
b)
Asymptota pionowa
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\frac{1}{2}^{-}}\frac{\frac{7}{4}}{[0^{-}]}=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\frac{1}{2}^{+}}\frac{\frac{7}{4}}{[0^{+}]}=\infty}\)
Czyli symptota pionowa w \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\)

Asymptota pozioma:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-3x}{2x+1}=\infty}\)
Czyli nie istnieje granica pozioma!
Asymptota ukośna:
\(\displaystyle{ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-3x}{2x+1}*\frac{1}{x}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ b=\lim_{x\to\infty}\(f(x)-ax)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-3x}{2x+1}-\frac{x}{2}=-2}\)
Czyli nsasza asymtota ma równanie \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x-2}\)

Reszta przykładów analogicznie

Mam nadzieje że nie zrobiłem błedów rachunkowych ale lepiej sprawdź!

aha

czyli rozumiem, ze w podpunkcie a x=1 jest asymptotą pionową obustronną, tak?
a jaki warunek nalezałoby spełnic, zeby to była asymptota jedyna?
jak tworzyć takie przykłady z asymptotami poziomymi i pionowymi jedynymi????
czy przykłądem takiej funkcji o jedynej asymptocie jest funkcja \(\displaystyle{ y= \frac{1}{1-x }}\)
i z tego także granice liczę.