Prosta i płaszczyzna

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
si1van
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 3 wrz 2009, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy

Prosta i płaszczyzna

Post autor: si1van » 18 wrz 2009, o 22:49

Przez punkt wspólny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i prostej \(\displaystyle{ l}\) poprowadzić prostą leżącą w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) i prostopadłej do \(\displaystyle{ l}\).

\(\displaystyle{ {\pi}: x+y+z+1=0}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)

Punktem wspólnym będzie \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\).
\(\displaystyle{ m=?}\) , \(\displaystyle{ m{\in}{\pi}}\) , \(\displaystyle{ m{\perp}l}\)

\(\displaystyle{ \vec{n}{\perp}{\pi}}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}=[1,1,1]}\)
Z tego wynika, że prosta \(\displaystyle{ m{\perp}\vec{n}}\)

Jak określić kierunek prostej l? Jakie jest równanie ogólne tej prostej?
Czy prosta l to prosta o stałych współrzędnych y i z i zmiennym x?
Jeżeli tak to chyba kierunkiem prostej będzie wersor: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\)

Czyli mam kierunki prostej \(\displaystyle{ l}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\). Z tego wynika, że wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ m}\) ma być prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,1,1]}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\). Obliczając iloczyn wektorowy tych wektorów otrzymam trzeci wektor prostopadły do obydwu. Będzie on jednocześnie należał do płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\).
Po obliczeniu iloczynu wychodzi: \(\displaystyle{ \vec{w}=[0,-1,1]}\), jest to kierunek prostej m.

Zapisuję prostą m przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\) i o kierunku \(\displaystyle{ \vec{w}}\) w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -1 + 0 \cdot t \\ y= 1 -1 \\ z= 1 + 1 \cdot t \end{cases}}\)

Proszę napisać, czy moje rozumowanie jest poprawne. Czy jest jakaś lepsza metoda na rozwiązanie tego zadania?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Prosta i płaszczyzna

Post autor: Kamil_B » 19 wrz 2009, o 00:58

Pora już troche późna i ma nadzieję, że dobrze zrozumiałem treść
si1van pisze:Punktem wspólnym będzie \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\).
Powinno być : \(\displaystyle{ P=(-1,1,-1)}\)
si1van pisze: Jak określić kierunek prostej l? Jakie jest równanie ogólne tej prostej?
Czy prosta l to prosta o stałych współrzędnych y i z i zmiennym x?
Jeżeli tak to chyba kierunkiem prostej będzie wersor: \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\)
Po kolei :
Równanie ogólne zawsze kojarzy mi się z płaszczyzną , ale za to wiem jak wyznaczyc równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\) .Zauważmy, że uklad równań :
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)
Możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=0+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
Stąd łatwo odczytujemy wektor kierunkowy prostej l a mianowice: \(\displaystyle{ (1,0,0).}\)
Swoją drogą twoje rozumowanie również jest poprawne
si1van pisze: Czyli mam kierunki prostej \(\displaystyle{ l}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\). Z tego wynika, że wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ m}\) ma być prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,1,1]}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,0]}\). Obliczając iloczyn wektorowy tych wektorów otrzymam trzeci wektor prostopadły do obydwu. Będzie on jednocześnie należał do płaszczyzny \(\displaystyle{ {\pi}}\).
Po obliczeniu iloczynu wychodzi: \(\displaystyle{ \vec{w}=[0,-1,1]}\), jest to kierunek prostej m.
Zgadzam się.
si1van pisze: Zapisuję prostą m przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P(-1,1,1)}\) i o kierunku \(\displaystyle{ \vec{w}}\) w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -1 + 0 \cdot t \\ y= 1 -1 \\ z= 1 + 1 \cdot t \end{cases}}\)
Po uwzględnieniu moich poprawek powinno być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -1 + 0\cdot t \\ y= 1 -1 \cdot t \\ z= -1 + 1 \cdot t \end{cases}}\)
si1van pisze: Proszę napisać, czy moje rozumowanie jest poprawne. Czy jest jakaś lepsza metoda na rozwiązanie tego zadania?
Szczerze nie wiem czy jest jakaś lepsza metoda. Ja również bym raczej szedl w tym kierunku co Ty

si1van
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 3 wrz 2009, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy

Prosta i płaszczyzna

Post autor: si1van » 19 wrz 2009, o 12:17

Kamil_B pisze:Równanie ogólne zawsze kojarzy mi się z płaszczyzną , ale za to wiem jak wyznaczyc równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\) .Zauważmy, że uklad równań :
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}}\)
Możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=0+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}}\)
Stąd łatwo odczytujemy wektor kierunkowy prostej l a mianowice: \(\displaystyle{ (1,0,0).}\)
Chyba powinno być tak:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=1+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}}\)

Ten zapis ułatwia odczytanie kierunku prostej. Dzięki. Teraz już będę wiedział jak zapisać taką prostą w jaśniejszej postaci.

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Prosta i płaszczyzna

Post autor: Kamil_B » 19 wrz 2009, o 12:25

Tak , zgadza się. Dzieki za poprawienie

ODPOWIEDZ