Matematyka.pl

Bardzo prosilbym o pomoc bo te oto dwa zadania sprawily mi problem:

1)Uzasadnij, ze wzor funkcji f mozna przedstawic w postaci \(\displaystyle{ f(x)=k(x)+m(x)}\) gdzie funkcja k jest parzysta a funkcja m nieparzysta

2) Wykaz, ze jesli funkcje f i g sa nieparzyste, to funkcja \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+g(x)}\) jest funkcja nieparzysta, a funkcja \(\displaystyle{ k(x)=f(x)\cdot g(x)}\) jest funkcja parzysta

Drugie jest dość proste, z definicji:
h(-x)= f(-x)+g(-x) = -f(x)-g(x) = -(f(x)+g(x)), czyli nieparzysta, o ile dziedziny się zgadzają.
k(-x) = f(-x) g(-x) = -f(x) *(-g(x)) = f(x) g(x), czyli parzysta z warunkiem wyżej.

W drugim liczysz \(\displaystyle{ h(-x)}\) i \(\displaystyle{ k(-x)}\)
\(\displaystyle{ h(-x)=f(-x)+g(-x)}\) z nieparzystości f i g masz \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(-x)=-g(x)}\), czyli
\(\displaystyle{ h(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-h(x)}\)
A drugie
\(\displaystyle{ k(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=\{ z\; tego\; samego\; co\; przedtem\}=-f(x)\cdot (-g(x))=f(x)\cdot g(x)=k(x)}\), czyli definicja parzystosci
A co do pierwszego, to wymyśliłem coś takiego. Chyba najłatwiej:
Definiujesz \(\displaystyle{ k(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ m(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}\)
Widać , że są to funkcje odpowiednio parzesta i nieparzysta i teraz

\(\displaystyle{ k(x)+m(x)=f(x)}\) i gotowe

faktycznie nie bylo to takie trudne tylko nie wiedzialem jak zaznaczyc nieparzystosci f i g a jak z pierwszym?

ok dzieki