Matematyka.pl

Witam!

Funkcja h jest okreslona wzorem \(\displaystyle{ h(x) = log_{2}(x^{2} - 4) - log_{2} (x-5)}\) Wyznacz wszystkie wartosci parametru k, dla ktorych rownanie \(\displaystyle{ h(x)-log_{2}k = 0}\) ma dwa rozne pierwiastki.

Ja robilem to nastepujaco:
1.Dziedzina
2.Sprowadzenie wszystkiego do postaci funkcji kwadratowej - \(\displaystyle{ x^{2} - kx + 5k - 4 = 0}\)
3.Postawienie zalozenia Δ > 0 i rozwiazanie go - \(\displaystyle{ k \in ( -\infty, 10 - 2\sqrt{21}) \cup (10 + 2\sqrt{21} , \infty)}\)

W kluczu mam jednak napisane, ze potrzebne sa jeszcze nastepujace zalozenia:
1. \(\displaystyle{ x_{w} > 0}\)
2. \(\displaystyle{ f(5) > 0}\)

I nie wiem wlasnie po co one sa potrzebne. Przeciez dwa rozne miejsca zerowe w funkcji kwadratowej wystepuja gdy delta jest wieksza od zera. Nie rozumiem po co sa te dodatkowe warunki. Moze ktos pomoze? :

z def. log wynika, że \(\displaystyle{ k>0\:\}\);
dziedziną funkcji \(\displaystyle{ h(x)\:\}\) jest: \(\displaystyle{ x^{2}-4> 0\:\}\) i \(\displaystyle{ x - 5 > 0\:\}\); co daje, że \(\displaystyle{ x > 5\}\);
dalej, doprowadzasz do równania kwadratowego i wyznaczasz zakres \(\displaystyle{ k\:\}\) - jak w Twoim rozwiązaniu.
oba pierwiastki równania \(\displaystyle{ h(x) = log_{2}k\:\}\)muszą należeć do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ h(x)\:\}\) ; tzn: \(\displaystyle{ x_{1}>5\:\}\) i \(\displaystyle{ x_{2}>5\:\}\);
Mamy: \(\displaystyle{ \frac{k-sqrt{\Delta}}{2}>5\:\}\) i \(\displaystyle{ \frac{k+sqrt{\Delta}}{2}>5\:\}\)
Pierwsze jest spełnione dla wszystkich k; drugie jest sprzeczne.
Ostatecznie mamy, że \(\displaystyle{ k (10 + 2\sqrt{21} ; )\}\).