Matematyka.pl

DOWÓD NIEPRZELICZALNOŚCI LICZB WYMIERNYCH?

Dowód przeprowadzimy nie wprost.
Wypiszmy wszystkie liczby wymierne z przedziału (0;1) w postaci uporządkowanego ciągu (tak jak w dowodzie nieprzeliczalności liczb rzeczywistych metodą przekątniową). Oznacza to, że każdej liczbie naturalnej przyporządkujemy jedną liczbę wymierną i nie znajdziemy żadnej liczby wymiernej, z tego przedziału, która nie byłaby odwzorowaniem jakiejś liczby naturalnej.
Teraz wykonajmy przegrupowanie- nazwijmy je “siódemkowe” polegające na tym, że jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym danej liczby występuje cyfra 7, wówczas daną liczbę przenosimy na początek ciągu, zaś wszystkie liczby do tej pory występujące przed nią przesuwane są o jedno miejsce dalej. Warto zauważyć, że liczb wymiernych niezawierających w rozwinięciu dziesiętnym siódemki jest nieskończenie wiele. Rozważmy zatem ten ciąg a1,a2,a3,...
Utwórzmy liczbę A w następujący sposób:
*zero, przecinek
*na pierwszym miejscu po przecinku – jeżeli pierwszą cyfrą po przecinku liczby a1 jest 7 to dowolna spośród 1,2,3,4,5,8; jeżeli zaś pierwsza cyfra po przecinku liczby a1 jest różna od 7 to wybieramy 7
*na drugim miejscu po przecinku – jeżeli drugą cyfrą po przecinku liczby a2 jest 7 to dowolna spośród 1,2,3,4,5,8; jeżeli zaś druga cyfra po przecinku liczby a2 jest różna od 7 to wybieramy 7
*na trzecim miejscu po przecinku – jeżeli trzecią cyfrą po przecinku liczby a3 jest 7 to dowolna spośród 1,2,3,4,5,8; jeżeli zaś trzecia cyfra po przecinku liczby a3 jest różna od 7 to wybieramy 7
itd.
Uzyskana w ten sposób liczba jest liczbą z przedziału (0;1), jest różna od wszystkich wypisanych i jest liczbą wymierną, ponieważ sposób jej tworzenia sprawia, że od pewnego momentu w rozwinięciu dziesiętnym pojawiają się same siódemki, co dowodzi jej wymierności. W ten sposób utworzonych liczb przy danym przegrupowaniu jest ostro więcej, wszak podczas jej tworzenia mamy swobodę wyboru jeśli napotkana cyfra jest 7 i jej zamianie na inną ( każdorazowy dowolny wybór z 6 cyfr). Założenie, że można wypisać wszystkie liczby wymierne z przedziału (0;1) w postaci ciągu przeliczalnego okazuje się błędne!!!!!????


Należałoby wobec powyższego, oraz innego dowodu przeliczalności, polegającego na znalezieniu odpowiedniego przyporządkowania, uznać powyższą metodę dowodzenia za wadliwą, zaś dowód nieprzeliczalności liczb rzeczywistych tą metodą za fałszywy.

Sprawa nieprzeliczalności liczb rzeczywistych pozostaje więc otwarta!

Kraków, 21.12.2008

Teraz wykonajmy przegrupowanie- nazwijmy je “siódemkowe” polegające na tym, że jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym danej liczby występuje cyfra 7, wówczas daną liczbę przenosimy na początek ciągu, zaś wszystkie liczby do tej pory występujące przed nią przesuwane są o jedno miejsce dalej. Warto zauważyć, że liczb wymiernych niezawierających w rozwinięciu dziesiętnym siódemki jest nieskończenie wiele. Rozważmy zatem ten ciąg a1,a2,a3,...

Tu jest namieszane (dalej zresztą też), czy to oznacza, że \(\displaystyle{ (a_1,a_2,...)}\) to ciąg, w którym są najpierw liczby wymierne z siódemkami a potem reszta? Jeśli tak to tak sie nie da oczywiście.

Czyżby takie przegrupowanie było nie do wyobrażenia? Mogę to podać w inny, bardziej sformalizowany sposób, tylko po co?
Całość wywodu ma za zadanie jedynie podważyć metodę przekątniową...

andu pisze:Czyżby takie przegrupowanie było nie do wyobrażenia? Mogę to podać w inny, bardziej sformalizowany sposób, tylko po co?
Całość wywodu ma za zadanie jedynie podważyć metodę przekątniową...

Gorzej, takie przegrupowanie jest niemożliwe Można taką procedurę kontynuować w sposób indukcyjny i wykonać skończenie wiele kroków, ale nigdy nie dojdziemy do końca, czyli momentu w którym już nie będzie liczb z siódemkami do przeniesienia. Chyba, że źle Cie zrozumiałem, wtedy będziemy szukać dziury gdzie indziej

Tak, rzeczywiście miałem na myśli sposób indukcyjny, ale o ile dobrze pamiętam (dawno temu nauki pokończyłem) indukcję nie prowadzi się tylko na zbiorach skończonych, ale rozciąga na zbiory przeliczalne..
Nie chodzi mi o jakiś szok, ale o to, że nieskończoność jest dużo bardziej niepojęta, niż niektórym się wydaje i sztuczki jakie stosujemy ( my ograniczeni w czasie i przestrzeni ludzie, a na pewno ja!) by ją okiełznać i wymyślać nowe nieskończoności troszkę uwłacza JEJ dostojeństwu.
Pozdrawiam i proszę o zrozumienie i pomoc w zrozumieniu

Polecam na początek zrozumieć dowód przeliczalności liczb wymiernych. Potem przyczepić się do niego, wskazać słaby moment i go obalić. Inaczej szkoda dyskusji.

Ja się nie przyczepiam do dowodu przeliczalności liczb wymiernych! Ale do dowodu nieprzeliczalności liczb niewymiernych metodą przekątniową! Gdyby był poprawny to tą metodą "udowadniam" nieprzeliczalność liczb wymiernych, co daje sprzeczność i co w wywodzie ( przez przekorę nazwanym dowodem) napisałem!

Ale bełkot.

polegającego na znalezieniu odpowiedniego przyporządkowania, uznać powyższą metodę dowodzenia za wadliwą

To mamy inną metodę. Jesli jedna metoda nie dziala (bo tak moze byc) to mozemy zastosowac inną, ktora dziala.

Ale do dowodu nieprzeliczalności liczb niewymiernych metodą przekątniową

No czekaj. Dowod jest o liczbach wymiernych, nie? Zatem czepiasz sie do liczb wymiernych. CO mają do tego liczby niewymierne?

Gdyby był poprawny to tą metodą "udowadniam" nieprzeliczalność liczb wymiernych, co daje sprzeczność i co w wywodzie ( przez przekorę nazwanym dowodem) napisałem!

Patrz tekst ktory pogrubilem.

Tyle. Twoja wypowiedz swiadczy o tym, że spales na zajeciach z logiki /teorii mnogosci. Proponuję trochę poczytac na ten temat zanim jeszcze raz zrobisz z siebie....ehem....wiadomo.

andu pisze:Teraz wykonajmy przegrupowanie- nazwijmy je “siódemkowe” polegające na tym, że jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym danej liczby występuje cyfra 7, wówczas daną liczbę przenosimy na początek ciągu, zaś wszystkie liczby do tej pory występujące przed nią przesuwane są o jedno miejsce dalej. Warto zauważyć, że liczb wymiernych niezawierających w rozwinięciu dziesiętnym siódemki jest nieskończenie wiele. Rozważmy zatem ten ciąg a1,a2,a3,...

Już Zordon zwrócił uwagę, ale dopowiem, że obiekt który powstanie nie jest ciągiem. Będzie miał bowiem typ porządkowy \(\displaystyle{ \omega + \omega}\), a ciąg ma typ porządkowy \(\displaystyle{ \omega}\). Mówiąc intuicyjnie: ustawiłeś liczby z rozważanego zbioru w dwa ciągi. Gdybyśmy zaś chcieli ograniczyć się tylko do tego pierwszego ciągu (liczby wymierne zawierające w rozwinięciu siódemkę), to...

Uzyskana w ten sposób liczba jest liczbą z przedziału (0;1), jest różna od wszystkich wypisanych i jest liczbą wymierną, ponieważ sposób jej tworzenia sprawia, że od pewnego momentu w rozwinięciu dziesiętnym pojawiają się same siódemki, co dowodzi jej wymierności.

...uzyskana w ten sposób liczba byłaby niewymierna.

Q.

dlaczego powstawać ma typ \(\displaystyle{ \omega}\)+\(\displaystyle{ \omega}\) i nie można go traktować jako po prostu \(\displaystyle{ \omega}\)?
To, że można by było podzielić tak utworzony ciąg na dwa osobne nieskończone ciągi nie powinno przecież zmienić tego, że nie dodałem ani jednego elementu i jest to nadal ten sam ciąg tylko inaczej uporządkowany

andu pisze:dlaczego powstawać ma typ \(\displaystyle{ \omega}\)+\(\displaystyle{ \omega}\) i nie można go traktować jako po prostu \(\displaystyle{ \omega}\)?
To, że można by było podzielić tak utworzony ciąg na dwa osobne nieskończone ciągi nie powinno przecież zmienić tego, że nie dodałem ani jednego elementu i jest to nadal ten sam ciąg tylko inaczej uporządkowany

Polecam zaznajomić się z liczbami porządkowymi. Jeśli uważasz, że powstanie "prawidłowy" ciąg (zawierający wszystkie liczby wymierne), to nie powinno być problemu ze wskazaniem pozycji, na którym będzie w nim przykładowo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), albo chociaż wykazanie, że taka pozycja istnieje. Niestety, tu jest to niemożliwe.

Twoje pytanie brzmi mniej więcej tak: "no niby mamy 10+10=20, ale czy nie można tego traktować jak 10", można?

A ile to jest \(\displaystyle{ \infty}\)+\(\displaystyle{ \infty}\)?
Proszę państwa, czy w dowodzie na nieprzeliczalność liczb rzeczywistych ktoś zawracał sobie głowę na którym miejscu jest 0,5?

\(\displaystyle{ \infty}\) to tylko symbol, a nie liczba. Nie masz argumentów, tylko pewne intuicje, które są dobre jedynie gdy obracamy się wśród skończonych obiektów.

Dziękuję Zordonowi i Qńowi za.... zasianie wątpliwości! Cóż, do końca nie jestem przekonany, ale Wasze argumenty są profesjonalne i jednocześnie proste. Swoją drogą ta \(\displaystyle{ \infty}\) jest dostatecznie wielka i nie wiem czy mnożenie jej bytów jest właściwe...
Dziękuje i pozdrawiam
i mam cichą nadzieję, że też zasiałem jakieś ziarno zwątpienia... no, może pyłek....

andu pisze:dlaczego powstawać ma typ \(\displaystyle{ \omega}\)+\(\displaystyle{ \omega}\) i nie można go traktować jako po prostu \(\displaystyle{ \omega}\)?

Najlepiej byłoby gdybyś przeczytał co to znaczy \(\displaystyle{ \omega}\), a co \(\displaystyle{ \omega + \omega}\). Póki jednak tego nie wiesz, spróbuję uargumentować inaczej.

Ciąg to jak wiadomo funkcja ze zbioru liczb naturalnych w rzeczywiste. W szczególności z uwagi na taką własność zbioru liczb naturalnych, że nie można w nieskończoność brać z niego liczb coraz mniejszych, oczywistym jest, że dla każdego elementu ciągu jest tylko skończenie wiele elementów ciągu wcześniejszych.

A ile jest elementów wcześniejszych niż \(\displaystyle{ 0.5}\) w Twojej konstrukcji? Nieskończenie wiele. Zatem to co skonstruowałeś nie ma jednej z własności ciągu, zatem ciągiem nie jest.

Q.