Matematyka.pl

na tablicy mamy \(\displaystyle{ n}\) liczb rzeczywistych. ruch polega na wybraniu dwóch liczb i zastąpieniu każdej z nich przez ich sumę. wyznaczyć wszystkie liczby \(\displaystyle{ n}\), dla których zawsze (tj dla dowolnych początkowych liczb) można osiągnąć n równych liczb.

Zuważmy,że gdy n jest potęgą dwójki zadanie jest spełnione.
dodajmy liczby,które są obok siebie(pierwsza z drugą,trzecia z czwartą...):
Mamy \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)par równych liczb.Dalej dodajmy parami dwie najbliższe różniące się liczby z nowego ciągu
(pierwsza z trzecią , druga z czwartą,piądta z siódmą itd) mamy \(\displaystyle{ \frac{n}{4}}\)czwórek liczb
Ogólnie:
Dodajmy dwie najbliższe liczby z nowego ciągu,które się różnią (dla każdego t<\(\displaystyle{ 2^{i-1}}\)
dodajmy t-tą liczbę z \(\displaystyle{ 2^{i-1}+t}\). Mamy
\(\displaystyle{ \frac{n}{2^{i}}}\) równych liczb w grupach po \(\displaystyle{ 2^{i}}\)
W ostatnim kroku wystarczy dodać t-tą liczbę z \(\displaystyle{ \frac{n}{2}+t}\)tą liczbą
i mamy tablicę z samymi równymi liczbami.
Udowodnię,że dla każdej innej liczby nie otrzymamy żądaniej sytuacji:
\(\displaystyle{ n=2^{k}+l i i<2^{k}}\)
i rozważmy ciąg podzielony na dwie grupy
W którym dla każdego \(\displaystyle{ n \le 2^{k}}\)\(\displaystyle{ a_{n}=1}\),a gdy \(\displaystyle{ n > 2^{k}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=2}\)
Dodawanie liczb z tej samej grupy nic nie da bo zależności miedzy wyrazami ciągu się nie zmienią i
nadal będziemy mieli ciąg,który dla liczb mniejszych lub równych \(\displaystyle{ 2^{s}}\) będzie miał jedną wartość (2),a dla większych inną (4)
Zostaje dodać n-ty wyraz z (n-l)-tym .
otrzymamy grupe liczb w,której \(\displaystyle{ 2l<2^{s+1}<n}\).czyli mamy grupę równych liczb(równych 3) i
jakiś "ogonek" równych liczb innej wartości ( 2) i dodajmy je zachowując grupę. i robimy tak dopóki
nie \(\displaystyle{ 2^{u} \cdot l>n}\). Wtedy mamy \(\displaystyle{ 2^{u-1} \cdot l}\)równych liczb i "ogonek"
i ogólnie: dodajemy liczby z mniejszej grupy z liczbami z większej (parami)zadanie zostanie zakończone gdy.
grupy będą równe,a tak się nie stanie,bo jeżeli liczby \(\displaystyle{ x_{n}}\)reszt z kolejnych kroków rozumowania. n musiałoby się dzielić przez\(\displaystyle{ 2^{g} \cdot x_{i}}\)i \(\displaystyle{ x_{i+1}=2^{g} \cdot
x_{i}}\),a,że są to liczby całkowite \(\displaystyle{ x_{i}}\) musiałoby być potęgą dwójki i wtedy odtwarzając to rozumowanie\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}....}\)i nigdy nie będzie zadość zadaniu.

ostry blef. co to w ogóle znaczy "to czy tamto nic nam nie da więc nie warto tego robić" ?.

zależności miedzy wyrazami ciągu się nie zmienią i nadal będziemy mieli ciąg,który dla liczb mniejszych lub równych \(\displaystyle{ 2^{s}}\) będzie miał jedną wartość (2),a dla większych inną (4)

wcale nie
poza tym z ciągu który podałeś jako kontrprzykład, dla parzystych n można dojść do postulowanej tablicy ze wszystkimi liczbami równymi (dowód masz tu post #3)

udowodniłem tak samo jak w przytoczonym poście że liczby nieparzyste nie pasują, potęgi dwójki wiadomo, i tak jak Ty próbowałem udowodnić że liczby parzyste niebędące potęgami dwójki nie działają (ten dowód z linka obejmuje tylko liczby całkowite na początkowej tablicy) z tym że wydaje mi się że kluczem jest rozważanie liczb niewymiernych, ale moja koncepcja dowodu zawiodła .