Rugownik i wyróżnik

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rugownik i wyróżnik

Post autor: mol_ksiazkowy » 16 wrz 2009, o 21:58

Definicja Niech \(f, g\) : \(f(x)=a_nx^n+....+a_1x+a_0\) \(g(x)=b_mx^m+....+b_1x+b_0\) \(a_n \neq 0, \ a_m \neq 0\) Definiuje się wyznacznik \(R(f,g)\), który zwie się rugownikiem. Ogólnie jest on stopnia \(n+m\). Jego pierwsze \(m\) wierszy tworzą liczby \(a_j\), które kolejno "przesuwają sie" z lewa na prawo. Następne jego \(n\) wierszy tworzą liczby \(b_j\), które też kolejno "przesuwają sie" z lewa na prawo. "Puste miejsca" wypełnia sie zerami. Uwaga: Zakładamy, ze liczby \(a_j\) i \(b_j\) są to liczby rzeczywiste. Przykład dla \(n=3, \ m=2\) \(R(f,g)=\left|\begin{array}{ccccc}a_3&a_2&a_1&a_0&0\\0&a_3&a_2&a_1&a_0\\b_2&b_1&b_0&0&0\\0&b_2&b_1&b_0&0\\ 0&0&b_2&b_1&b_0\end{array}\right|\) gdy \(f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) \(g(x)=b_2x^2+b_1x+b_0\) Twierdzenie Warunkiem koniecznym i wystarczającym, by \(f\) i \(g\) miały wspólny pierwiastek jest by \(R(f, g)=0\) Definicja Jeśli mamy wielomian \(f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\), i \(a_n \neq 0\), to jego wyróżnikiem jest liczba \(D(f)= \frac{1}{a_n} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} R(f, f^{\prime})\) Można wykazać, że gdy \(f(x)=a_n(x-x_1)...(x-x_n)\) to \(D(f)= a_n^{2n-2} \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2\) Jeśli \(f\) ma \(p\) par pierwiatków zepolonych sprzęzonych , to \(sgn(D(f))= (-1)^p\) o ile \(D(f) \neq 0\) Twierdzenie Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby \(f\) posiadał pierwiastek wielokrotny jest by \(D(f)=0\) Przykład Niech \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a \neq 0\) to \(D(f)=\frac{1}{a}(-1)^1 \left|\begin{array}{cccc}a&b&c\\2a&b&0\\0&2a&b\end{array}\right| =b^2-4ac\) tj po prostu \(\Delta\) Delta ! Przykład Niech \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(a \neq 0\), to \(D(f)= -27a^2d^2 +b^2c^2 -4b^3d -4ac^3+18abcd\) w szczególnosci gdy \(f(x)=x^3+px+q\), to \(D(f)=-108(\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27})\)

ODPOWIEDZ