Matematyka.pl

zacikawiła mnie jedna nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{x ^{2} -4} < 0}\)

rozwiązania to \(\displaystyle{ { ]-2;0 [ cup ]0;2[ }}\)

ciekawi mnie tylko jak wyliczyć te rozwiązania.

rozwiązujesz ten przykład jak nierówność wymierną, czyli:
\(\displaystyle{ ... = x ^{2} (x ^{2} -4) < 0 \Rightarrow x ^{2} (x-2)(x+2)<0}\)

3 pierwiastki i wykres wielomianowy. wiadomo, że 0 jest pierwiastkiem podwójnym, więc tam wykres "odbija" i wychodzi taki oto przedział: \(\displaystyle{ (-2,0) \cup (0,2)}\)

Skrócone mnożenie:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{(x-2)(x+2)}<0}\)

Dziedzina:
\(\displaystyle{ x \neq 2 \wedge x \neq -2}\)
dalej, żeby wyrażenie było ujemne:

\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)<0 \Rightarrow x ^{2} <4 \Leftrightarrow x<2 \wedge x>-2}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x ^{2}=0}\) to nierówność się nie zgadza, więc wyłączamy zero ze zbioru rozwiązań.

Reasumując:

\(\displaystyle{ x \in (-2;0) \cup (0;2)}\)

dzięki za pomoc