Matematyka.pl

Jak obliczyć taką całkę?

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2-4x+6}}\)

alef0 pisze:\(\displaystyle{ x^2-4x+6=(x-2)^2+2=2((\frac{x-2}{\sqrt{2}})^2+1)}\)

Niestety nie wiele mi to mówi
Może ktoś pomóc rozwiązać te zadanie?

znasz arcustangensa?

Zna. Ale po co mu on? Przeciez pochodną arcusa musi znac.

\(\displaystyle{ x^2-4x+6=(x-2)^2+2}\)

Na piechote:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x-2)^{2}+2} = ...}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ (x-2)^{2} = 2t^{2}}\)
\(\displaystyle{ x-2 = \sqrt{2}t}\)
\(\displaystyle{ dx = \sqrt{2}dt}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{x-2}{\sqrt{2}}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ ... = \sqrt{2} \int \frac{dt}{2t^{2}+2} = \frac{\sqrt{2}}{2} arctgt + c = \frac{arctg( \frac{x-2}{\sqrt{2}}) }{\sqrt{2}}+ c}\)

miodzio1988 pisze:

Zna. Ale po co mu on? Przeciez pochodną arcusa musi znac.

Nie wiem co z Ciebie za matematyk, ale w definicji pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) wykorzystuje się definicję funkcji \(\displaystyle{ f}\). Nie ma pochodnej bez funkcji pierwotnej.