Matematyka.pl

Znalazłem na zadaniach z WM w Staszicu równanie, do którego nie wiem jak podejść. Wiem, amatorstwo, ale się uczę Dzięki za pomoc

Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : R \rightarrow R}\), ciągłe, spełniające własność dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R}\):
\(\displaystyle{ f(f(x)) = f(x) + x}\)

Sugerowałbym sprawdzanie wielomianów, stałego, stopnia 1 itd...

zex, polecam zapoznac się z metodami rozwiązywania równań funkcyjnych. To że znajdziesz jakąś funkcję która spełnia to rownanie, nie znaczy że je rozwiązaleś.



Może się przyda.

czeslaw, znalezienie jakiegoś rozwiązania to już coś, od czego można zacząć...

Widać , że funkcja f(x) nie może w swoim rozwinięciu w szereg , składnik z x w najwyższej potędze nie może być rzędu \(\displaystyle{ x^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Bo wtedy po lewej stronie równania pojawi składnik rzędu \(\displaystyle{ x^{n^{2}}}\) a po prawej będzie dalej tylko \(\displaystyle{ x^{n}}\). Pozostają więc wyraz liniowy i stały:

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)

\(\displaystyle{ a(ax+b) + b = ax + b + x}\)

\(\displaystyle{ x(a^{2} - a - 1) = -ab}\)

Aby bylo spelnione dla każdego x, obie strony muszą być równe 0:

\(\displaystyle{ ab=0 \longrightarrow b=0}\)

\(\displaystyle{ a^{2} - a - 1 = 0 \longrightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \vee a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)

pozostaje pytanie, co z funkcjami, które mają nieskonczenie wiele wyrazów w rozwinięciu w szereg

Jaworekk pisze:Widać , że funkcja f(x) nie może w swoim rozwinięciu w szereg , składnik z x w najwyższej potędze nie może być rzędu \(\displaystyle{ x^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Bo wtedy po lewej stronie równania pojawi składnik rzędu \(\displaystyle{ x^{n^{2}}}\) a po prawej będzie dalej tylko \(\displaystyle{ x^{n}}\). Pozostają więc wyraz liniowy i stały:

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)

\(\displaystyle{ a(ax+b) + b = ax + b + x}\)

\(\displaystyle{ x(a^{2} - a - 1) = -ab}\)

Aby bylo spelnione dla każdego x, obie strony muszą być równe 0:

\(\displaystyle{ ab=0 \longrightarrow b=0}\)

\(\displaystyle{ a^{2} - a - 1 = 0 \longrightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \vee a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)

pozostaje pytanie, co z funkcjami, które mają nieskonczenie wiele wyrazów w rozwinięciu w szereg

hmm... ale rozwijanie w szereg wiąże się z różniczkowalnością (chyba że myślisz o rozwijaniu w szereg, którego nie znam). W założeniach nie ma nic o różniczkowaniu funkcji \(\displaystyle{ f}\)

ja na razie doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ f}\) musi być różnowartościowa (co z ciągłością daje monotoniczność) i \(\displaystyle{ f(0)=0}\)