2+2=5 ...

[abc666]

Wrangler, czyli jeśli \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) to \(\displaystyle{ f(-5)=-5^2=-25}\) ?

[Mefistocattus]

Ja powiedziałbym raczej, że chodzi o dwa pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}}\): -5 i 5. Domyślnie przyjmuje się pierwiastek za liczbę nieujemną.

Wrangler: \(\displaystyle{ -5 = (-5)^1}\)

[norwimaj]

To ja mam coś ciekawego, gdzie jest błąd:

\(\displaystyle{ x=x^1=x ^{2 \cdot \frac{1}{2} } =(x^2) ^{ \frac{1}{2} }= \sqrt{x^2}=|x|}\)

Błąd polega na tym, że zastosowałeś wzór
\(\displaystyle{ x^{ab}=(x^a)^b}\),
nie sprawdzając uprzednio, czy są spełnione odpowiednie założenia.

[kamil13151]

norwimaj, te prawa to: \(\displaystyle{ m,n \in R \wedge a,b \in R^{+} \hspace{5} \underline{\vee} \hspace{5} m,n \in C \wedge a,b \in R \wedge a,b \neq 0}\) page.php?p=kompendium-potegi-i-pierwiastki . W szkole niestety o nich nie wspominają... Jak dojść do tych praw?

[norwimaj]

W szkole niestety o nich nie wspominają...

Bo szkoła nie jest od tego żeby uczyć.

Jak dojść do tych praw?

O co konkretnie pytasz? O dowód własności działań na potęgach?

[ares41]

Niektóre własności działań na potęgach można udowodnić wykorzystując równania funkcyjne,
np taka własność:
\(\displaystyle{ a^{x+y}=a^x \cdot a^y}\)

[Dreamer357]

Witam ponownie.
Chciałbym przedstawić pewną teorię, która mieści się w zakresie tej dyskusji.
Zacznę od przedstawienia tego co jest:
9,(9)=10x
czyli po wykonaniu dzielenia x=0,(9)
czyli 10x-x=9

i tu widzę błąd logiczny, wg mnie powinno być tak

9,(9)=10x
czyli po wykonaniu dzielenia x=0,9(9) // wyjaśnię to w dalszej części
czyli 10x-x=9,(0...9)

gdzie ... to ilość cykli po której kończymy domniemamy, że w nawiasie mówimy o nieskończoności więc wynika z tego, że 9,(0...9) jest co najwyżej w przybliżeniu do nieskończoności równe 9 a nie równe bezwarunkowo

powiecie pewnie, że w odwrotną stronę to nie zadziała, ale działa idealnie
mogę to udowodnić na prostym przykładzie jeżeli będziecie mieć pytania

błąd wynika z tego, że patrzymy tylko na początek zapisu
czyli 0,9999999999999999...
a nie na początek i koniec
0,999999999999999...9
wg mnie w ... jest nieskończoność
uważam, że chodzi o to, że skoro 9.(9) było pierwsze, wykonaliśmy działanie i otrzymaliśmy {kiedy wykonujemy działanie mija jeden cykl} 0,9(9) czyli 9,(9) ma o jedną 9 więcej od 0,9(9) dlatego taki zapis

[Jan Kraszewski]

i tu widzę błąd logiczny,

A na czym miałby polegać ten błąd?

wg mnie powinno być tak

9,(9)=10x
czyli po wykonaniu dzielenia x=0,9(9) // wyjaśnię to w dalszej części
czyli 10x-x=9,(0...9)

gdzie ... to ilość cykli po której kończymy domniemamy, że w nawiasie mówimy o nieskończoności więc wynika z tego, że 9,(0...9) jest co najwyżej w przybliżeniu do nieskończoności równe 9 a nie równe bezwarunkowo

Nie jestem pewien, co masz na myśli.

Wiesz oczywiście, że napis \(\displaystyle{ x=0,(9)}\) jest skrótem napisu

\(\displaystyle{ x= \sum_{i=1}^\infty\frac{9}{10^i}?}\)

JK

[AiDi]

O matko, kolejna powtórka z rozrywki Żeby się waliło, paliło i był koniec świata to wciąż 0,(9)=1 bez żadnych przybliżeń

[Dreamer357]

O matko, kolejna powtórka z rozrywki Żeby się waliło, paliło i był koniec świata to wciąż 0,(9)=1 bez żadnych przybliżeń

Jeśli uważasz, że się mylę to pokaż mi błąd w moim rozumowaniu (postaram się zrozumieć i ustosunkować się), bo nie wiem do czego się odnosisz.
Według mnie nawet po odczekaniu nieskończoności w idealnym środowisku (takim jest matematyka {można przeprowadzić równania i udowodnić swoje racje} w fizyce po równaniach mówimy o teorii którą trzeba jeszcze udowodnić) 0,(0...1) nie równa się 0 a jeśli mówisz, że się równa to mylisz matematykę z fizyką.

[xanowron]

O matko, kolejna powtórka z rozrywki Żeby się waliło, paliło i był koniec świata to wciąż 0,(9)=1 bez żadnych przybliżeń

to pokaż mi błąd w moim rozumowaniu bo nie wiem do czego się odnosisz
wg mnie nawet po odczekaniu nieskończoności w idealnym środowisku(takim jest matematyka {można przeprowadzić równania i udowodnić swoje racje w fizyce po równaniach mówimy o teorii którą trzeba jeszcze udowodnić) 0,(0...1) nie równa się 0 a jeśli mówisz, że się równa to mylisz matematykę z fizyką bo tam mówimy, że idealnych warunków (w fizyce mówimy o przykładach istniejących w matematyce tylko o przykładach) osiągnąć się nie da

Po pierwsze używasz pojęć których kompletnie nie rozumiesz, a są one dość ściśle definiowane w matematyce.
"Odczekać nieskończoność" Co to znaczy?
Nie wiem po co mieszasz tutaj fizykę, a do tego byłoby dobrze gdybyś używał przecinków i budował składne zdania, bo większości Twojego posta nie da się zrozumieć. (co nie przeszkadza w zobaczeniu tego o czym wspominam w pierwszym zdaniu)

[Jan Kraszewski]

to pokaż mi błąd w moim rozumowaniu bo nie wiem do czego się odnosisz

Problem polega na tym, że w tym, co napisałeś, nie widać żadnego rozumowania matematycznego, tylko mało precyzyjne rozważania.

Ty zresztą też nie wskazałeś błędu w rozumowaniu, które przytoczyłeś, tylko stwierdziłeś, że według Ciebie błąd jest. Nie odpowiedziałeś też na moje pytanie.

JK

[Dreamer357]

ok. Postaram się poprawić. (to przez skróty myślowe) Mówiąc warunki miałem na myśli aksjomaty.
Błąd wynika z tego, że w momencie dzielenia (wg mnie) następuje przesunięcie ostatniej cyfry o 1 (nie mylić z przecinkiem). Wy tego nie bierzecie pod uwagę i tu jest błąd w waszym toku rozumowania.
Odczekać nieskończoność w sensie patrzeć co się dzieje z przodu liczby, ale i też na to co z tyłu.

[Jan Kraszewski]

błąd wynika z tego, że patrzymy tylko na początek zapisu
czyli 0,9999999999999999...
a nie na początek i koniec
0,999999999999999...9
wg mnie w ... jest nieskończoność
uważam, że chodzi o to, że skoro 9.(9) było pierwsze, wykonaliśmy działanie i otrzymaliśmy {kiedy wykonujemy działanie mija jeden cykl} 0,9(9) czyli 9,(9) ma o jedną 9 więcej od 0,9(9) dlatego taki zapis

Teraz jesteś precyzyjniejszy. Nie masz jednak racji, a Twój problem bierze się z niezrozumienia istoty nieskończoności potencjalnej, którą próbujesz traktować jako nieskończoność aktualną - tam nie ma końca...
Ale nie martw się, nie Ty pierwszy i nie ostatni.

Żeby jednak nie być gołosłownym:

\(\displaystyle{ 9,(9)=10x}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty\frac{9}{10^i}=10x}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac{9}{10^i}=10x/:10}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac{9}{10^i}=x}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{10}\sum_{i=0}^n\frac{9}{10^i}=x}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac{9}{10^{i+1}}=x}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n+1}\frac{9}{10^i}=x}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty\frac{9}{10^i}=x}\)
\(\displaystyle{ 0,(9)=x}\)

Dla pełności argumentu trzeba by było uzasadnić istnienie odpowiednich granic, co jednak nie jest trudne.

JK

[Dreamer357]

Ja rozumiem, że tam nie ma końca, ale dla dobra rozwiązania, żeby nie mówić, że 0=1 założyłem na chwile że jest. Twierdze, że 9.(9) dąży do nieskończoności o jedną dziewiątkę szybciej od 0,9(9) ponieważ wykonaliśmy dzielenie. Czyli 0.(9)=0.9(9), ale nie są jednakowe. Można powiedzieć, że ważą tyle samo, ale ich objętość jest różna (to tylko przykład)