Matematyka.pl

niech \(\displaystyle{ f:}\)\(\displaystyle{ R^{3}}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R^{3}}\) będzie przekształceniem liniowym takim, że \(\displaystyle{ f(1,0,1)=(0,2,-3), f(0,1,-2)=(2,-3,6), f(-2,1,-3)=(0,-3,5)}\). Znaleźć \(\displaystyle{ M_{c}^{c}}\)(f), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest bazą kanoniczną. Czy macierz \(\displaystyle{ M_{c}^{c}}\)\(\displaystyle{ (f)}\) jest diagonalizowalna? Jeśli tak to wyznacz macierze \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ D}\) takie, że \(\displaystyle{ D}\)=\(\displaystyle{ N^{-1}*M_{c}^{c}(f)*N}\) i \(\displaystyle{ D}\) jest diagonalna.

Wielka prośba o rozwiązanie krok po kroku. Dzięki.

Najpierw wyznacz \(\displaystyle{ M(f)_{C}^{C}}\) gdzie C- standardowa.
Mozesz to zrobic np tak:

\(\displaystyle{ f(1,0,1)=(0,2,-3)}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,-2)=(2,-3,6)}\)
\(\displaystyle{ f(-2,1,-3)=(0,-3,5)}\)

1. Tworzysz macierz idac "wierszami" tzn:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&0&1&|&0&2&-3\\
0&1&-2&|&2&-3&6\\
-2&1&-3&|&0&-3&5\end{bmatrix}}\)

2. Sprowadzasz lewa strone do jednostkowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&0&0&|&x1&x2&x3\\
0&1&0&|&x4&x5&x6\\
0&0&1&|&x7&x8&x9\end{bmatrix}}\)

3. Stad widac, że:
\(\displaystyle{ f(1, 0, 0) = (x1, x2, x3)}\)
\(\displaystyle{ f(0, 1, 0) = (x4, x5, x6)}\)
\(\displaystyle{ f(0, 0, 1) = (x7, x8, x9)}\)

4. \(\displaystyle{ M(f)_{C}^{C} = M(f)_{st}^{st}}\) to te wektory ustawione w kolumny czyli:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
x1&x4&x7\\
x2&x5&x8\\
x3&x6&x9\end{bmatrix}}\)

Ok,

Zrobiłem jak napisałeś. Wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2&-2\\-2&5&4\\4&-8&-7\end{array}\right]}\)

następnie po przekształceniach:

\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

z tego wynika, że wartości własne macierzy to
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=-2}\) \(\displaystyle{ \lambda_{2}=-1}\) \(\displaystyle{ \lambda_{3}=1}\)

po podstawieniu kolejnych wartości własnych do
\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2 -\lambda&0&0\\0&-1-\lambda&0\\0&0&1-\lambda\end{array}\right]}\)

otrzymujemy 3 wektory własne:

\(\displaystyle{ W_{-2}=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha\\0\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{-1}=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\\beta\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\\gamma\end{array}\right]}\)

co oznacza, że \(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=D}\), a \(\displaystyle{ N=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

Zgadza się wszystko czy coś pokręciłem?

następnie po przekształceniach:

\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

To mi sie nie podoba ... jak na moj gusta nie mozesz tak sobie uproscic sprawy,
bo to zmienia wielomian charakterystyczny. "Po Bozemu" powinny wyjsc \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 1}\) (podwojna)

rzeczywiście, jak policzyłem na piechotę wielomian charakterystyczny to wychodzi tak jak mówisz -2 i 1 podwójne. Czy to oznacza, że nie można sobie upraszczać/modyfikować macierzy bo będzie to miało wpływ na wielomian charakterystyczny?

dalej licząc wektory charakterystyczne wychodzi:

\(\displaystyle{ W_{-2}=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}=\left[\begin{array}{ccc}0\\1\\-1\end{array}\right]}\)

to oznacza, że macierz nie ma postaci diagonalnej ponieważ te wektory nie tworzą bazy \(\displaystyle{ R^{3}}\) ?

tigerrr pisze:rzeczywiście, jak policzyłem na piechotę wielomian charakterystyczny to wychodzi tak jak mówisz -2 i 1 podwójne. Czy to oznacza, że nie można sobie upraszczać/modyfikować macierzy bo będzie to miało wpływ na wielomian charakterystyczny?

Niestety nie można upraszczać/modyfikować tak macierzy.
Zauważ, że przekształceniu w konkretnej bazie odpowiada konkretna macierz.
Zmieniając tą macierz zmieniamy ,chcąc nie chcąc, bazę tego przekształcenia lub wręcz samo przekształcenie.

Dzięki, trochę mi się to teraz wyklarowało Możecie powiedzieć mi jeszcze jak wygląda sprawa z wektorami własnymi i postacią diagonalną w tym zadaniu?