Matematyka.pl

Mam problem z tymi podpunktami:
\(\displaystyle{ p) 4*3 ^{x} - 9 * 2 ^ {x} = 5 * 3 ^{ \frac{x}{2} } * 2 ^{ \frac{x}{2} }}\)
\(\displaystyle{ r) 8 ^{x} + 18 ^{x} - 2 * 27 ^{x} = 0}\)
\(\displaystyle{ u) \left(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right) ^{x} + \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) ^{x} = 4}\)

r) \(\displaystyle{ 8^{x}+18^{x}-2\cdot 27^{x}=0}\)

założenie: \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\)

Podzielmy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ 18^{x}}\):

\(\displaystyle{ \left(\frac{8}{18}\right)^{x}+1-2\cdot \left(\frac{27}{18}\right)^{x}=0}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{4}{9}\right)^{x}+1-2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x}=0}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{-2x}+1-2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x}=0}\)

\(\displaystyle{ \left[\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right]^{-2}+1-2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x}=0}\)

Niech \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{x}=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\).

Stąd mamy:

\(\displaystyle{ t^{-2}-2t+1=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{t^{2}}-2t+1=0 \iff -2t^{3}+t^{2}+1=0 \iff -2t^{3}+2t^{2}-t^{2}+1=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff -2t^{2}(t-1)-(t^{2}-1)=0 \iff -2t^{2}(t-1)-(t-1)(t+1)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff (t-1) (-2t^{2}-t-1)=0 \iff t=1>0}\)

\(\displaystyle{ \rightarrow \forall_ {t\in \mathbb R} -2t^{2}-t-1\neq0}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^{x}=1 \iff \left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\left(\frac{3}{2}\right)^{0} \iff x=0}\)

\(\displaystyle{ \rightarrow}\) Powołujemy się tu na różnowartościowość f-cji wykładniczej.

Odp.: \(\displaystyle{ x=0}\)

[Edit]

u) \(\displaystyle{ \rightarrow \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\)

Wykorzystaj tę wskazówkę.

p) podziel stronami przez \(\displaystyle{ 2^{0,5x}\cdot 3^{0,5x}}\) (moze zobaczysz co dalej)

Wyciągnąłem 6 i zostało coś dobrze się zapowiadającego, ale dalej nie wiem ;/
\(\displaystyle{ 6* \left(\left( \frac{2}{3} \right)^{1-\frac{1}{2}x} - \left( \frac{3}{2} \right)^{1-\frac{1}{2}x}\right)\right)\right) = 5}\)

u) rozwiązałem, dzięki

p) \(\displaystyle{ 4\cdot 3^{x}-9\cdot 2^{x}=5\cdot 3^{\frac{x}{2}}\cdot 2^{\frac{x}{2}}}\)

założenie: \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\)

Podzielmy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}}\):

\(\displaystyle{ 4\cdot \frac{3^{x}}{3^{\frac{x}{2}}\cdot 2^{\frac{x}{2}}}-9\cdot \frac{2^{x}}{3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}}=5}\)

\(\displaystyle{ 4\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}-9\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{x}{2}}-5=0}\)

\(\displaystyle{ 4\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}-9\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{-\frac{x}{2}}-5=0}\)

\(\displaystyle{ 4\cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{2}}\right)^{x}-9\cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{2}}\right)^{-x}-5=0}\)

Niech \(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{x}=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\).

Stąd mamy:

\(\displaystyle{ 4t-\frac{9}{t}-5=0 \iff 4t^{2}-5t-9=0 \iff 4\left(t-2\frac{1}{4}\right)(t+1)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff t=2\frac{1}{4} \vee t=-1<0}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{x}=\frac{9}{4} \iff \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \iff \frac{x}{2}=2 \iff x=4}\)

Odp.: \(\displaystyle{ x=4}\)

Wielkie dzięki
Chodzę na podstawową matematykę w liceum i nie byłem przyzwyczajony do trudnych zadań na lekcji, a jutro mam sprawdzian z tego - czas mnie gonił trochę