Matematyka.pl

Zaczęliśmy funkcje trygonometryczne, mam wszystkie notatki i znam tożsamości ale nie potrafię ich zastosować do tego zadania. Proszę o pomoc.

Udowodnij, że przy odpowiednich założeniach prawdziwe są tożsamości:
a)\(\displaystyle{ (sinx + cosx) ^{2} = 1+2sinx}\)
b) \(\displaystyle{ (tgx + ctgx)^{2} = tgx + ctg^{2}x + 2}\)
c) \(\displaystyle{ (sinx + cosx)(sinx-cosx)=2sinx -1}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{tgx}{1+tg^{2}x} = sinxcosx}\)
e) \(\displaystyle{ tgx + ctgx = \frac{1}{sinxcosx}}\)
f) \(\displaystyle{ tgx(cosx + ctgx)=1+sinx}\)

a)\(\displaystyle{ L=(\sin x + \cos x)^{2}=\sin ^{2} x + 2\sin x \cos x + \cos ^{2} x =1 + \sin 2x = P}\)
(Czy tam nie powinno być zamiast \(\displaystyle{ 2 \sin x}\) raczej: \(\displaystyle{ \sin 2x}\) ? Bo tak mi wyszło )

e) \(\displaystyle{ tgx + ctgx =\frac{1}{sinxcosx}}\)
\(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \wedge x \neq k\pi, \ \ \ k \in C}\) {dla tych argumentów x - tgx lub ctgx nie przyjmują wartości)
\(\displaystyle{ L=\tg x + \ctg x =\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin ^{2} x + \cos ^{2} x}{\sin x \cos x}= \frac{1}{\sin x \cos x}=P}\)


Resztę spróbuj zrobić sama, posiedź przy tym troszkę dłużej i może się uda:)

Dzięki ale nie bardzo wiem skąd się takie rozwiązanie w e) wzięło ;/

Z zależności:
\(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \tg x = \frac{1}{\ctg x}}\)