Matematyka.pl

Czy funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=2-x ^{4} -y ^{2}}\) ma ekstremum ?? Jak tak to jakie ??

Mi wychodzi punkt podejrzany \(\displaystyle{ P=(0,0)}\) i z wyznacznika mi wychodzi 0. Więc napewno coś nawaliłem. Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ \hbox{WKIEL} \\ \\
\frac{\partial \digamma}{\partial x}=0 \qquad \frac{\partial \digamma}{\partial y}=0 \\ \\
\frac{\partial \digamma}{\partial x}=-4x^{3} \quad \frac{\partial \digamma}{\partial y}=-2y \\ \\
-4x^3 = 0 \qquad -2y = 0}\)

\(\displaystyle{ \hbox{WDIEL} \\ \\
\Delta = \left| \begin{array}{cc}f"xx&f"xy\\f"xy&f"yy\end{array} \right| \\ \\}\)

\(\displaystyle{ \hbox{Jeżeli} \quad \Delta < \hbox{ 0 - brak ekstemum} \\
Jezeli \quad \Delta \hbox{ = 0 - niewiadoma} \\
\hbox{Jeżeli w p. stacjonarnym} \quad \Delta > \hbox{0 - ekstemum istnieje}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}=0 \\ \\
\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = \left| \begin{array}{cc}-12x^{2}&0\\0& -2 \end{array} \right| = 24x^{2} \\ \\}\)

\(\displaystyle{ \Delta > 0 \qquad \hbox{ekstremum istnieje}}\)

No właśnie mi wyszło 0 co wskazuje na nieokreślone
Ale kolega na egzaminie przy tym zadaniu zakreślił, że funkcja ma dokładnie jedno ekstremum lokalne i że osiąga ono maksimum. Nie mam pojęcia jakim cudem mu tak wyszło

No właśnie mi wyszło 0 co wskazuje na nieokreślone

Wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0}\) nie określa czy ekstremum się tam znajduje czy też nie. Mówi on nam tylko, że na mocy tego kryterium nie jesteśmy w stanie tego określić. Należy zbadać otoczenie (\(\displaystyle{ f(0,0)=2}\)) poprzez zbadanie zachowania funkcji przy odpowiednio dobranych ciągach [\(\displaystyle{ f( frac{1}{n},- frac{1}{n}), f( frac{1}{n}, frac{1}{n}), f(- frac{1}{n}, frac{1}{n} ), f(- frac{1}{n},- frac{1}{n})}\)]- lub znaleźć odpowiedniejsze.
Zresztą tu wszystko widać "na oko"



Pozdrawiam.

Niestety nie rozumiem tego co napisałeś Mnie uczono szukać ekstremum według schematu i zawsze było tak, że albo wychodziło ekstremum albo nie. Dlatego nie wiem jak się zachować gdy wyznacznik wychodzi zero. Z tego co pisałeś o ciągach nic nie łapie. Prędzej bym coś na przykładzie chwycił.

rzepa_89, to zapomnij o schemacie tylko pomyśl. WIesz co to jest ekstremum, nie? Jak powinno się otoczenie punkty podejrzanego o ekstremum zachowywac? Pomysl

Otoczenie ekstremum powinno być albo mniejsze albo większe w zależności czy to maksimum czy minimum. Naniosłem na wykres funkcje \(\displaystyle{ f(x,y)= 2 - x ^{4} - y ^{2} \Leftrightarrow y= \sqrt{2} - x ^{2}}\) i z rysunku wychodzi, że jest maksimum

\(\displaystyle{ f(x,y)= 2 - x ^{4} - y ^{2} \Leftrightarrow y= \sqrt{2} - x ^{2}}\)

A co to jest? Bo teraz to ja się pogubiłem.