całka krzywoliniowa

[rzepa_89]

Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{l}^{} ydx + 2xdy}\)
jeżeli \(\displaystyle{ l}\) to okrąg \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} = 1}\) od punktu \(\displaystyle{ (-1,0)}\) do punktu \(\displaystyle{ (-1,0)}\) zorientowany dodatnio

Coś mi chyba nie wychodzi. Robiłem to tak:

\(\displaystyle{ x=cost}\)
\(\displaystyle{ y=sint}\)
\(\displaystyle{ x'(t)=sint}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=-cost}\)

\(\displaystyle{ dl=1}\)

Po podstwieniu do całki dochodzę to takiego czegoś:

...\(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi} sin ^{2}t - 2cos ^{2}t dt}\)

No i w tym momencie nie wiem zbytnio jak z tym dalej ruszyć

[Jaworekk]

Niech:

\(\displaystyle{ I_{1}= \int_{}^{}sin^{2}tdt}\)
\(\displaystyle{ I_{2}= \int_{}^{}cos^{2}tdt}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ I_{1}+I_{2} = \int_{}^{}(sin^{2}t+cos^{2}t)dt = \int_{}^{}dt = t}\)
\(\displaystyle{ I_{2}-I_{1} = \int_{}^{}(cos^{2}t-sin^{2}t)dt = \int_{}^{}cos2tdt = \frac{1}{2}sin2t}\)

Dodajac rownania stronami mamy:

\(\displaystyle{ I_{2} = \frac{t}{2}+\frac{sin2t}{4}}\)

A odejmujac:

\(\displaystyle{ I_{2} = \frac{t}{2}-\frac{sin2t}{4}}\)

[rzepa_89]

chyba coś nie hallo jest w tym co piszesz, albo ja Cię nie rozumiem

[meninio]

Po zastosowaniu podstawowych wzorków trygonometrycznych wyrażenie podcałkowe można uprościć do poniższej postaci:

\(\displaystyle{ \sin^2-2\cos^2t=1-3\cos^2 t=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \cos (2t)}\)

Co do scałkowania jest już banalne...
Ponadto można zauważyć, że funkcja podcałkowa jest parzysta oraz przedział całkowania jest symetryczny wokół 0, więc zachodzi:

\(\displaystyle{ \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \mbox{d}x =2\int \limits_{0}^{\pi} f(x) \mbox{d}x}\)

[Jaworekk]

@rzepa_89: napisałem Ci wzory na całki z \(\displaystyle{ sin^{2}t}\) i \(\displaystyle{ cos^{2}t}\). Fakt, w ostatniej linijce sie pomylilem, przed znakiem równosci powinno byc I1 a nie I2