Matematyka.pl

Witam wszystkich. Mam problem z sumie bardzo prostą granicą.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2} \frac{x^2-1}{x-2}}\)

Doprowadziłem wyrażenie do takiej postaci : \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2} (x+2)+ \frac{3}{x-2}}\)

Czyli mialbym tu sume dwoch granic. Granica pierwszego składnika jet oczywista ale jak dokladnie obliczyc granice drugiego? A może jest jakiś inny sposón jej obliczenia? Wynik prawidłowy to 4 . Znalazłem na jakimś innym forum rozwiązanie ale nic komplentie z niego nei rozumiem

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{(x-2)x +2x -1}{x-2} = \frac {x+ (2x-1)}{x-2}=\frac {x+ [2(x-2)+3]}{x-2}= \frac{x +2 +3}{x-2}= x +2 + [\frac{x-2}{3}]^{-1} = x+2 + [\frac{x}{3} - \frac{2}{3}]^{-1} = x+2+ [\frac {2}{3} -\frac{2}{3}]^{-1} =x+2= 4}\)

Proszę o wytłumaczenie bardzo

PS a to jest oryginalne zadanie przepisane z tamtego forum bez latexa. Daje w razie jakbym coś przy przerabianiu na latexa pomylil

lim(x->2) (x^2-1)/(x-2)= ((x-2)x +2x -1)/(x-2) = x+ (2x-1)/(x-2)= x+ [2(x-2)+3]/(x-2)= x +2 +3/(x-2)= x +2 + [(x-2)/3]^(-1) = x+2 + [x/3 -2/3]^(-1) = x+2+ [2/3 -2/3]^(-1) =x+2= 4

Ta granica nie wychodzi 4 (policz odpowiednie granice jednostronne).

Ale w książce odpowiedz jest 4. To zadanie jest z książki Krysickiego i Włodarskiego Analiza Matematyczna cz.1 . Czyżby błąd autorów??

Moim zdaniem tak.

Kurcze możliwe, Czyli granica lewostronna ma być plus nieskończoność a granica prawostronna minus nieskończoność?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{(x-2)x +2x -1}{x-2} = x+\frac {2x-1}{x-2}=x+\frac {[2(x-2)+3]}{x-2}= x+2+\frac{3}{x-2}= x +2 + [\frac{x-2}{3}]^{-1} = x+2 + [\frac{x}{3} - \frac{2}{3}]^{-1} = x+2+ [\frac {2}{3} -\frac{2}{3}]^{-1} =x+2= 4}\)

Nie wiem, czy to jest poprawne, ale ja tak rozumiem cytowane przez Ciebie rozwiązanie.

Marque pisze:Kurcze możliwe, Czyli granica lewostronna ma być plus nieskończoność a granica prawostronna minus nieskończoność?

wg mnie chyba odwrotnie ?

Hmm w sumie nei widze błędu rachunkowego i wszystko wydaje się okej. Teraz zrozumiałem tok postępowania. Dzięki

Nie jest poprawne.
Problem jest gdy piszemy \(\displaystyle{ \frac{3}{x-2}=(\frac{x-2}{3})^{-1}}\) i wykonujemy przejście graniczne przy \(\displaystyle{ x \rightarrow 2}\).
Ogólnie ta granica z zadania nie istnieje(istnieją granice jednostronne , które są różne).

Kibu pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{(x-2)x +2x -1}{x-2} = x+\frac {2x-1}{x-2}=x+\frac {[2(x-2)+3]}{x-2}= x+2+\frac{3}{x-2}= x +2 + [\frac{x-2}{3}]^{-1} = x+2 + [\frac{x}{3} - \frac{2}{3}]^{-1} = x+2+ [\frac {2}{3} -\frac{2}{3}]^{-1} =x+2= 4}\)

Nie wiem, czy to jest poprawne, ale ja tak rozumiem cytowane przez Ciebie rozwiązanie.

Chyba masz racje. Dzięki

argv pisze:

Marque pisze:Kurcze możliwe, Czyli granica lewostronna ma być plus nieskończoność a granica prawostronna minus nieskończoność?

wg mnie chyba odwrotnie ?

MAsz racje. Sorki za pomyłkę

Ten błąd występuje tam chyba od pierwszego wydania
Na forum pojawiło się to z tysiąc razy już, lekko - wystarczy poszukać.