rówanie różniczkowe w zadaniu z treścią

[Yenneferzyca]

W dużym zbiorniku jest 5l zanieczyszczonej wody; stężenie zanieczyszczeń wynosi 1g/l. W pewnym momencie do zbiornika zaczynamy dolewać wody (zawirającej 2g/l zanieczyszczeń) w tempie 2l/min i jednocześnie innym otworem odprowadzać z niego wodę w tempie 1l/min. Woda w zbiorniku jest nieustannie dokładnie mieszana, tak że stężenie zanieczyszczeń jest w każdym miejscu zbiornika takie samo. Jakie będzie stężenie zanieczyszczeń w zbiorniku po t minutach?

[luka52]

Zbiornik mieści początkowo \(\displaystyle{ V = 5l}\) i w chwili początkowej zawiera \(\displaystyle{ m_0 = 5g}\) zanieczyszczeń. Szybkość, z jaką wlewa się woda to \(\displaystyle{ v_{in} = 2 l/min}\) a jej zanieczyszczenie to \(\displaystyle{ z_{in} = 2g/l}\). Ilość wody w zbiorniku w funkcji czasu wyraża się jako \(\displaystyle{ V(t) = 5 + t}\) (objętość w litrach, czas w minutach), szybkość z jaką woda wypływa to \(\displaystyle{ v_{out} = 1 l/min}\).
W czasie \(\displaystyle{ dt}\) do zbiornika wpada \(\displaystyle{ z_{in} v_{in} dt}\) gram zanieczyszczeń i równocześnie opuszcza go \(\displaystyle{ f(t) v_{out} dt}\) gram zanieczyszczeń (f to szukana funkcja opisująca stężenie zanieczyszczeń). Zatem całkowity wzrost zanieczyszczeń w czasie \(\displaystyle{ dt}\) wynosi \(\displaystyle{ (z_{in} v_{in} - f(t) v_{out} ) dt}\) i jest on równy szybkości wzrostu zanieczyszczeń \(\displaystyle{ df}\) przemnożonej przez ilość wody V(t). Zatem należy rozwiązać równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ V(t) \, \mbox d f = (z_{in} v_{in} - f(t) v_{out} ) \mbox d t, \quad f(0) = \frac{m_0}{V(0)} =1}\)