Matematyka.pl

Dwie styczne do okręgu o promieniu 4 cm przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności, punkt przecięcia się stycznych i środek okręgu.
a) \(\displaystyle{ \alpha = 90^o}\)
b) \(\displaystyle{ \alpha = 60^o}\)
c) \(\displaystyle{ \alpha = 120^o}\)

Prosta łącząca środek okręgu z punktem przecięcia się stycznych jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \alpha}\). Co więcej, dzieli ona dany czworokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne (styczna do okręgu jest prostopadła do promienia okręgu wyznaczonego przez punkt styczności). W każdym z tych trójkątów jedna z przyprostokątnych jest równa promieniowi okręgu, tj. 4cm, a druga ma długość \(\displaystyle{ 4 cm\cdot\cot\frac{\alpha}{2}}\).
Stąd i ze wzoru na pole trójkąta obliczymy pole \(\displaystyle{ P}\) czworokąta:
\(\displaystyle{ P=2\cdot\frac{1}{2}\cdot 4 cm\cdot 4 cm\cdot\cot\frac{\alpha}{2}=16\cdot\cot\frac{\alpha}{2}\ cm^2}\).

W konkretnych przypadkach a), b), c) wystarczy teraz podstawić wartości kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).