Matematyka.pl

Oblicz granicę:

\(\displaystyle{ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaamaawafabeWcbaGaamiEaiabgkziUkabgU
% caRiabg6HiLcqab0qaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaaakmaalaaabaWa
% a8qCaeaacaGGOaWaaSaaaeaacaaIYaGaamiDaiabgUcaRiaaiodaae
% aacaaIYaGaamiDaiabgUcaRiaaiwdaaaGaaiykamaaCaaaleqabaGa
% aGinaiaadshacqGHRaWkcaaIYaaaaOGaamizaiaadshaaSqaaiaaic
% daaeaacaWG4baaniabgUIiYdaakeaacaWGLbGaeyyXICTaamiEaaaa
% cqGH9aqpaaa!5134!
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\int\limits_0^x {(\frac{{2t + 3}}{{2t + 5}})^{4t + 2} dt} }}{{e \cdot x}} =
\]}\)

Podobno z de'Hospitala to się da zrobić (pozbyć całki w liczniku), i wtedy stosuje się wzór:
\(\displaystyle{ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadAeacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH9a
% qpdaWdXbqaaiaadAgacaGGOaGaamiDaiaacMcacaWGKbGaamiDaaWc
% baGaam4zaiaacIcacaWG4bGaaiykaaqaaiaadIgacaGGOaGaamiEai
% aacMcaa0Gaey4kIipaaaa!43D8!
\[
F(x) = \int\limits_{g(x)}^{h(x)} {f(t)dt}
\]}\)
i z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadAeacaGGNaGaaiikaiaadIhacaGGPa
% Gaeyypa0JaamOzaiaacIcacaWGObGaaiikaiaadIhacaGGPaGaaiyk
% aiabgwSixlaadIgacaGGNaGaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyOeI0Iaam
% OzaiaacIcacaWGNbGaaiikaiaadIhacaGGPaGaaiykaiabgwSixlaa
% dEgacaGGNaGaaiikaiaadIhacaGGPaaaaa!4EDF!
\[
F'(x) = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)
\]}\)

ale jakoś tego nie widzę... Mianownik ułamka idzie do nieskończoności, a licznika jakoś nie widzę...

Funkcja podcałkowa jest malejąca i zbiega do odpowiedniej (niezerowej i dodatniej) granicy. Wystarczy ją (całkę) odpowiednio oszacować.

Z tego, co mi wychodzi, to dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{ e^{4} }}\)
I co teraz?

No skoro funkcja jest malejąca i dąży do takiej granicy to chyba można ją oszacować: \(\displaystyle{ f(x) > e^{-4}}\). Scałkuj obustronnie w odpowiednich granicach i wyciągnij wnioski.

Jeśli dobrze rozumiem, to po scałkowaniu tego: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ e^{4} }dt}\) wyjdzie, że zmienna jest w liczniku.

Czyli wyjdzie, że licznik też dąży do nieskończoności i mogę zastosować de'Hospitala do głównej granicy - dobrze rozumiem?

Tak.