Matematyka.pl

W trójwymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) (współrzędne \(\displaystyle{ x,y,z}\)) dane jest równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) w następującej postaci: \(\displaystyle{ 3y+4z=1}\). Znaleźć wektor wodzący \(\displaystyle{ r_P}\) punktu \(\displaystyle{ P}\) należącego do płaszczyzny takiego, że \(\displaystyle{ r_P}\) jest prostopadły do płaszczyzny. Jak interpretujemy długość wektora \(\displaystyle{ r_P}\)?

długość wektora to będzie odległość płaszczyzny od początku ukł. współrzędnych, ale jak znaleźć sam wektor niestety nie wiem...

Hmm może skorzystaj z tego, że wektor normalny płaszczyzny jest do niej prostopadły

a konkretniej? jak należało by to rozpisać?

Wektor normalny tej płaszczyzny to \(\displaystyle{ [0,3,4]}\). Jest on prostopadły do tej płaszczyzny czyli spełnia zalożenia o naszym wektorze wodzącym.

hm... czyli mam rozumieć tutaj nie trzeba żadnych obliczeń, wystarczy napisać to co napisałeś powyżej, że wektor normalny jest prostopadły dla tej płaszczyzny, więc wektor wodzący tego punktu będzie równy wektorowi normalnemu?

Tak wynika moim zdaniem z treści zadania.

Ale przecież punkt \(\displaystyle{ (0,3,4)}\) nie należy do płaszczyzny. Może \(\displaystyle{ 3*3*a+4*4*a=1 \implies a=\frac{1}{25}}\) czyli wektor \(\displaystyle{ \left[0,\frac{3}{25},\frac{4}{25}\right]}\)?

te70 -Tak zgadza się
Innymi słowy-wystarczy unormowac nasz wektor [0,3,4] i wtedy juz wszystko gra