Matematyka.pl

Zadanie nr 1 ze Zwardonia 2005. (Na ile sposobow mozna przedstawic liczbe \(\displaystyle{ 3^{2005}}\) w postaci sumy co najmniej dwoch kolejnych liczb calkowitych dodatnich) O ile dowod jest dla mnie calkiem jasny itp., o tyle ciekawi mnie czy dla kazdego \(\displaystyle{ 3^{n}}\) odpowiedz brzmi zawsze \(\displaystyle{ n}\). Jestem niemal przekonany, ze to prawda, ale nie potrafie tego udowodnic.

Mam parę spostrzeżeń, które uzasadniają podane przez ciebie zdanie. Jest ono zresztą prawdziwe dla każdej liczby pierwszej.

1. Liczba \(\displaystyle{ 3^x}\) ma \(\displaystyle{ x}\) dzielników różnych od \(\displaystyle{ 1}\) (są to kolejne potęgi trójki).
2. Suma kolejnych \(\displaystyle{ n}\) liczb całkowitych dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ 3^x}\) musi więc dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\) (ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego).
3. Jeśli \(\displaystyle{ 3^x}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), to istnieje odpowiedni ciąg arytmetyczny (z tego samego wzoru).
4. Jeśli dla danego \(\displaystyle{ n}\) istnieje odpowiedni ciąg arytmetyczny, to istnieje tylko jeden (w miarę oczywiste).

Mam nadzieję, że nie wyciągnąłem zbyt pochopnych wniosków.

Elvis pisze:2. Suma kolejnych \(\displaystyle{ n}\) liczb całkowitych dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ 3^x}\) musi więc dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\) (ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego).

\(\displaystyle{ 2 \not | 3+4}\).

to zadanie sprowadza sie do sprawdzenia ilosci rozwiazan rownania \(\displaystyle{ 2 \cdot 3^x = (n-k)(n+k+1)}\), ktore wymagajaco nie wyglada, ze wzgledu na ten rozklad po lewej.

Masz rację. Chciałem napisać, że dla n nieparzystego, ale się pomyliłem.