Matematyka.pl

1 problem
Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 504, a ich największym wspólnym dzielnikiem jest 36. Wyznacz wszystkie pary liczb o tej własności.

2 problem
Uzasadnij, że jeśli dowolne liczby całkowite a oraz b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio równe 2 oraz 3, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6.

Pomożecie?? Z góry dzięki

1. Standardowe zadanie:
Niech te liczby to x i y. Z warunków zadania:
\(\displaystyle{ x=36k \wedge y=36l}\)
\(\displaystyle{ 36(k+l)=504}\)
k,l są względnie pierwsze.
\(\displaystyle{ k+l=14}\)
No i teraz bierzesz k=1 l=13 potem k=3 l=11 potem k=5 l=9 potem k=9 l=5 potem k=11 l=3 oraz k=13 l=1
Mnożysz wszystkie dane razy 36 i masz kilka par.

2.
Skoro przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2 i 3 to są postaci:
\(\displaystyle{ x=5k+2 \wedge y=5l+3}\), k,l naturalne
\(\displaystyle{ 2(x^{2}+y^{2})=2(25k^{2}+20k+4+25l^{2}+30l+9)=50k^{2}+40k+8+50l^{2}+60l+18=....}\)
I teraz sprawdz co sie stanie jak podzielisz przez 10.