Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{1}{12}\ \le\ \frac{x^2}{1+y} + \frac{y^2}{1+z} + \frac{z^2}{1+x}\ \le\ 1}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\ge 0}\) spełniających \(\displaystyle{ x+y+z=1}\)

jak ją wykazać?

Chyba dość prosto, w lewą stronę z Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela (nawet jest mocniejsze ograniczenie - przez 1/4):
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{1+y} + \frac{y^2}{1+z} + \frac{z^2}{1+x} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(1+y)+(1+z)+(1+x)} = \frac{1^2}{3+1} = \frac{1}{4}}\)

W prawą po prostu jak najbardziej naiwnie szacujemy: \(\displaystyle{ \frac{x^2}{1+y} \le \frac{x^2}{1+0} = x^2 \le x}\), pozostałe dwa ułamki podobnie. Sumując dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{1+y} + \frac{y^2}{1+z} + \frac{z^2}{1+x} \le x+y+z = 1}\)

dzięki
zapomniałem dodać że zależy mi tylko na lewej bo prawa jest prosta

mógłbyś napisać nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela ?
zwykłą Cauchy'ego-Schwarza znam, ale z tym Engelem to jakaś szczególna postać?

- to temat z naszego forumowego kompendium

dzięki

a może prawą stronę też da się poprawić- bo ta 1 chyba nigdy nie jest osiągana

nie, spróbuj x=y=0, z=1

Jest osiagana, np. dla x=1, y=z=0.