Zbieżność (zwykła i bezwzględna) całki niewłaściwej

[domin87]

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną całki niewłaściwej.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{(1+x)ln(1+x)cos(x)}{x^\frac{3}{2}} dx.}\)

Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?

1.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)ln(1+x)cos(x)}{x^\frac{3}{2}} = \infty}\), bo \(\displaystyle{ \frac{ln(1+x)}{x} \rightarrow 1}\) oraz \(\displaystyle{ cos(x) \rightarrow 1}\) i wreszcie \(\displaystyle{ \frac{1+x}{ \sqrt{x}} \rightarrow \infty}\).

Przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) funkcja podcałkowa dąży do zera, więc zachowujemy szansę na zbieżność, ale to tylko szansa. Tak czy inaczej warto podzielić rozpatrywaną całkę na sumę dwóch: od zera do jakiegoś epsilona i od epsilona do plus nieskończności.

2.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\epsilon}}\) wychodzi mi zbieżna i to bezwzględnie. Zbieżność zwykła wychodzi z tego, że wystarczy funkcję podcałkową podzielić przez \(\displaystyle{ x^{\frac{1}{2}}}\) i już jej granica równa się 1, a wynika to z \(\displaystyle{ \frac{1+x}{ \sqrt{x}}\sqrt{x} \rightarrow 1}\). A skoro \(\displaystyle{ \frac{1}{2} < 1}\), to z takiego twierdzenia porównawczego (jak je nazwać?) wynika, że całka jest zbieżna. Zbieżność bezwzględna, wydaje mi się, wynika z tego, że znak funkcji podcałkowej jest stale dodatni przy zbieganiu x do zera, bo każdy z czynników jest dodatni.

3.
A teraz trochę większe wyzwanie, czyli całka \(\displaystyle{ \int_{\epsilon}^{\infty}}\), która wyszła mi wprawdzie zbieżna, ale nie bezwzględnie, co powoduje, że cała całka ma taką właśnie charakterystykę. \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \frac{1+x}{x} = 1}\), więc ten czynnik z funkcji podcałkowej wyodrębniam i pomijam w dalszym rozważaniu. Ale pozostałe czynniki powodują, że całka jest zbieżna na mocy kryterium Dirichleta, bo całki z cos x są zawsze ograniczone (nie przekraczają 2), natomiast \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{ln(1+x)}{\sqrt{x}} = 0}\) i to dążenie do zera jest monotoniczne - przy czym tak się dzieje dopiero od pewnego x - nic jednak nie stoi na przeszkodzie, bo epsilonem mogę manipulować i przesunąć go w prawo.

4.
Największe wyzwanie to wykazać rozbieżność bezwzględną. Funkcja podcałkowa w module wygląda, jak stopniowo zmniejszające swoje pole garby. Dlatego muszę pokazać, że szereg złożony z prostokątów zawartych w tych garbach jest rozbieżny. Wtedy także szereg z garbów będzie rozbieżny. No to tworzę prostokąty o podstawie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i o wysokości będącej wartością funkcji w punkcie \(\displaystyle{ \pi n - \frac{\pi}{4}}\). W rezultacie otrzymuję szereg równy
\(\displaystyle{ \pi \sum_{1}^{\infty} \frac{ln(1+n \pi - \frac{\pi}{4}) cos(n \pi - \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n \pi - \frac{\pi}{4}}}}\). Jest to szereg większy od szeregu \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n}}\), czyli rozbieżny.

[Zordon]

ogólnie dobrze, ale w 4 strasznie nieformalnie zapisane, powinno się rozważać szereg np.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ( \int_{\frac{\pi}{2}+n\pi}^{\frac{\pi}{2}+ n(\pi+1)} \frac{ln(x+1)|cos(x)|}{\sqrt{x}}dx)}\)

i wykazać, że jest on rozbieżny. Przyda się tw. o wartości średniej.

(można wykazać, że zbiezność tego szeregu jest równoważna zbieżności całki)