Teleturniej - Prawdopodobieństwo warunkowe

[Gonzo]

W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za
pozostałymi dwoma kozy. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje
na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywając kozę i następnie pyta
gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć (tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie). Jeżeli
gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód.
Powiedzmy, że gracz wskazał na początku na drzwi nr 1, a prowadzący grę otworzył drzwi nr 3
z kozą. Czy graczowi opłaca się zmienić decyzję i wskazać na drzwi nr 2? Odpowiedź uzasadnić.

Ktoś mi może wyjaśnić dlaczego jest tak: a nie inaczej? Z góry dzięki.

Mamy:
Wprowadzamy oznaczenia: Ai - zdarzenie, że samochód jest za drzwiami nr i,
Bi - zdarzenie, że prowadzący otworzył drzwi nr i, i = 1, 2, 3

\(\displaystyle{ P(A_{i}) = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{3} | A_{1}) = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{3} | A_{2}) = 1}\) <- głównie o to chodzi, dlaczego jest 1?
\(\displaystyle{ P(B_{3} | A_{3}) = 0}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ P(B_{3} | A_{2}) = 1}\) <- głównie o to chodzi, dlaczego jest 1?

No jeśli pokazaliśmy bramkę pierwszą, a samochód jest za drugą, to prawdopodobieństwo, że prowadzący odsłoni trzecią bramkę jest równe jeden.

Dlaczego jednak przeprowadzasz takie rachunki, jakbyś liczył jaka jest szansa, że prowadzący odsłoni trzecią bramkę? Tu chodzi przecież o prawdopodobieństwo wygrania samochodu.

A sam problem, zwany paradoksem Monty Halla, ma raczej proste wyjaśnienie - jeśli na początku pokazaliśmy bramkę z samochodem (szansa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)), to po zmianie wyboru na pewno trafimy na kozę. Ale jeśli na początku pokazaliśmy kozę (szansa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)), to na pewno po zmianie wyboru wygramy samochód. Szansa wygrania samochodu wynosi więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 0+ \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}}\).

Q.