Matematyka.pl

Wyznaczyć macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ h: R^{2} \rightarrow R^{3}}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ h(1,0)=(1,2,3), h(2,1)=(0,1,-2)}\) oraz w \(\displaystyle{ R^{2}}\) przyjmujemy baze kanoniczną, natomiast w \(\displaystyle{ R^{3}}\) baza składa się z wektorów:\(\displaystyle{ b _{1}=[2,0,0], b _{2}=[1,1,1] , b _{3}=[1,-1,0]}\). Proszę o pomoc

Nie jestem specjalista, ale ta baza \(\displaystyle{ R^{3}}\) nie wydaje mi sie potrzebna ...
Skoro:
\(\displaystyle{ h(1,0) = (1, 2, 3)}\)
\(\displaystyle{ h(2,1) = (0, 1, -2)}\)

to robimy macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&|&1&2&3\\2&1&|&0&1&-2\end{bmatrix}}\)
Lewa strone do jednostkowej i mamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&|&1&2&3\\0&1&|&-2&-3&-8\end{bmatrix}}\)

Więc:
\(\displaystyle{ h(1,0) = (1, 2, 3)}\)
\(\displaystyle{ h(0,1) = (-2, -3, -8)}\)

Ustawiajac w kolumny mamy:

\(\displaystyle{ M(h)_{st}^{st} = \begin{bmatrix} 1&-2\\2&-3\\3&-8\end{bmatrix}}\)

Niech ktos jeszcze spojrzy bo nie wiem czy dobrze zrozumialem zadanie

argv pisze:
Niech ktos jeszcze spojrzy bo nie wiem czy dobrze zrozumialem zadanie

raczej nie bardzo, bo jest podana inna baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), niż standardowa.

Zordon pisze:

argv pisze:
Niech ktos jeszcze spojrzy bo nie wiem czy dobrze zrozumialem zadanie

raczej nie bardzo, bo jest podana inna baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), niż standardowa.

Juz rozumiem ... dobrze ze czuwasz to postaram sie przerobic

-- 25 sie 2009, o 15:23 --

No to podejscie drugie mam nadzieje poprawne - jesli dobrze zrozumialem wskazowki Zordona

1. Znajdujemy macierz(wzor) przeksztalcenia w bazach standardowych jw.

2. Szukamy \(\displaystyle{ M(h)_{st}^{B}}\) czyli macierzy w ktorej w j-tej kolumnie stoja
wspolrzedne wektora \(\displaystyle{ h(\alpha_{j})}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{j}}\) - wektory z bazy standardowej w bazie
\(\displaystyle{ B}\)

Jak sie policzy to wychodzi ze:
\(\displaystyle{ h(1,0) = (1, 2, 3) = \frac{-3}{2}(2,0,0) + 3(1,1,1) +1 (1, -1, 0)}\)
\(\displaystyle{ h(0,1) = (-2, -3, -8) = \frac{11}{2}(2,0,0) + -8(1,1,1) -5(1, -1, 0)}\)

Stad:
\(\displaystyle{ M(h)_{st}^{B} = \begin{bmatrix} \frac{-3}{2} & \frac{11}{2} \\3&-8\\1&-5\end{bmatrix}}\)

Teraz powinno juz byc ok

Zordon pisze: raczej nie bardzo, bo jest podana inna baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), niż standardowa.

Raczej łatwo pokazać, że przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ h:E \rightarrow F}\) jest jednoznacznie określone przez zadanie wartości na wektorach bazowych przestrzeni E.
Macierz przekształcenia jest taka jak w pierwszym rozwiązaniu Kolegi argv.

JankoS pisze:

Zordon pisze: raczej nie bardzo, bo jest podana inna baza \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), niż standardowa.

Raczej łatwo pokazać, że przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ h:E \rightarrow F}\) jest jednoznacznie określone przez zadanie wartości na wektorach bazowych przestrzeni E.

oczywiście, samo przekształcenie tak, ale macierz zmienia sie przy obraniu innej bazy.