Równanie płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
kaktus22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 sie 2009, o 12:35
Płeć: Mężczyzna

Równanie płaszczyzny

Post autor: kaktus22 » 24 sie 2009, o 21:56

1)Znalezc rów. plaszczyzny H przechodzacej przez prosta k:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-y+z-5=0\\x+2y-z+2=2 \end{array}}\) i równolegla do proste l:\(\displaystyle{ 1-x=(y-2)/2=(z-1)/2}\) 2)Znalezc rów. płaszczyzny H zawierające dwie proste l:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=t\\y=8-4t\\z=-3-3t\end{array}}\) i k:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y-z=0\\2x-y+2z=0 \end{array}}\)

Awatar użytkownika
gott314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
Płeć: Mężczyzna

Równanie płaszczyzny

Post autor: gott314 » 24 sie 2009, o 23:04

ad.1 1. Przekształcasz postać krawędziową prostej k do postaci kanonicznej i odczytujesz z niej wektor równoległy (nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{a}}\)) oraz punkt spełniający jej równanie (nazwijmy go \(\displaystyle{ Q}\)). 2. Wektor równoległy do prostej l (nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{b}}\)) ma współrzędne \(\displaystyle{ \vec{b}=[-1,2,2]}\). 3. Tworzysz wektor \(\displaystyle{ \vec{WQ}}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x,y,z)}\) to dowolny punkt należący do płaszczyzny H. 4. Liczysz iloczyn mieszany i przyrownujesz go do zera: \(\displaystyle{ (\vec{a},\vec{b},\vec{WQ})=0}\) ad.2 (podobnie co do 1) 1. Przekształcasz postać krawędziową prostej k do postaci kanonicznej i odczytujesz z niej wektor równoległy (nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{a}}\)) oraz punkt spełniający jej równanie (nazwijmy go \(\displaystyle{ Q}\)). Możesz także odczytać z postaci parametrycznej prostej l współrzędne punktu spełniającego jej równanie. Ma on współrzędne \(\displaystyle{ Q(0,8,-3)}\). 2. Wektor równoległy do prostej l (nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{b}}\)) ma współrzędne \(\displaystyle{ \vec{b}=[1,-4,-3]}\). 3. Tworzysz wektor \(\displaystyle{ \vec{WQ}}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x,y,z)}\) to dowolny punkt należący do płaszczyzny H. 4. Liczysz iloczyn mieszany i przyrownujesz go do zera: \(\displaystyle{ (\vec{a},\vec{b},\vec{WQ})=0}\)

kaktus22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 sie 2009, o 12:35
Płeć: Mężczyzna

Równanie płaszczyzny

Post autor: kaktus22 » 25 sie 2009, o 14:42

1) Nie wiem czy dobrze Cie zrozumiałem ale zrobiłem tak \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-t/7 +10/7 \\y=4t/7-5/7\\z=t\end{array}}\) \(\displaystyle{ \vec{a}=[-1/7,4/7,1]}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}=[-1,2,2]}\) \(\displaystyle{ Q=[10/7,5/7,0]}\) i \(\displaystyle{ W[1,2,1]}\) \(\displaystyle{ \vec{WQ}=[3/7,-19/7,1]}\) \(\displaystyle{ \vec{WQ}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0}\) \(\displaystyle{ [3/7,-19/7,1]\cdot[-1/7,4/7,1]\times[-1,2,2]=0}\) Dobrze to jest?

Awatar użytkownika
gott314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
Płeć: Mężczyzna

Równanie płaszczyzny

Post autor: gott314 » 26 sie 2009, o 12:52

Nie do końca. Punkt \(\displaystyle{ Q}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ Q(\frac{10}{7},-\frac{5}{7},0)}\). Punkt \(\displaystyle{ W}\) to dowolny punkt należący do płaszczyzny H, zatem jego współrzędne to niewiadome. Dlatego ma postać \(\displaystyle{ W(x,y,z)}\). Więc wektor \(\displaystyle{ \vec{QW}}\) będzie miał współrzędne: \(\displaystyle{ \vec{QW}=[x-\frac{10}{7},y+\frac{5}{7},z]}\) Jak wprowadzisz te zmiany do równania \(\displaystyle{ \vec{QW}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0}\) i go obliczysz, to otrzymasz od razu równanie płaszczyzny H.

kaktus22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 sie 2009, o 12:35
Płeć: Mężczyzna

Równanie płaszczyzny

Post autor: kaktus22 » 26 sie 2009, o 15:59

ok Dzieki

ODPOWIEDZ