Matematyka.pl

Witam,

mam takie oto zadanko:


f(x) =\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0 dla x < -\frac{\pi}{2}\\-k cosx dla -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\\0 dla \frac{\pi}{2} \end{array}}\)

jaka będzie dystrybuanta i dominanta dla tej funkcji.

k jeśli dobrze obliczyłem wychodzi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)

Domyślam się że dominanta w tym zadaniu wynosić będzie 0 - można to odczytać z wykresu, gdy się taki narysuje ale czy można jakoś to obliczyć?? Raczej na pewno można tylko pytanie - jak?

Bardzo proszę o pomoc.
Z góry dziękuje,

Pozdrawiam,
Piotrek

Zgadza się, k=-0,5. A więc gęstość dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0\qquad\text{dla }x<-\frac{\pi}{2}\\ \frac{1}{2}\cos x\qquad\text{dla } -\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}\\0\qquad\text{dla }x->frac{\pi}{2}\end{cases}}\)

Dystrybuana:
\(\displaystyle{ \text{dla }x \le -\frac{\pi}{2}\qquad F(x)= \int_{-\infty}^x 0 \mbox{d}t =0}\)

\(\displaystyle{ \text{dla }-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\qquad F(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}} 0 \cdot \mbox{d}t+\int_{-\frac{\pi}{2}}^x 0,5\cos t \mbox{d}t=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \text{dla }x>\frac{\pi}{2}\qquad F(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}} 0 \cdot \mbox{d}t+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 0,5\cos t \mbox{d}t+ \int_{\frac{\pi}{2}}^\infty 0\mbox{d}t =1}\)

Znalezienie dominanty jest równoważne ze znalezieniem maksimum lokalnego funkcji gęstości.
\(\displaystyle{ f(x)=0,5\cos x}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=-0,5 \sin x = 0 \Leftrightarrow x=0}\)
\(\displaystyle{ f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\), \(\displaystyle{ f'(x)< 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), zatem w \(\displaystyle{ x=0}\) funkcja osiąga maksimum.

A jak bedzie dystrybuanta (najbardziej chodzi mi o rozpisanie tych granic całkowania skad dokąd
dla


f(x)= { 2-x dla 1<= x<2
x dla 0 <= x<1
0 poza tym }