Matematyka.pl

Witam. To już ostatni temat z tej 'serii', obiecuję

1) Napisz równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(-3;-1}\), do którego należy punkt \(\displaystyle{ P(-1;3)}\)

2) Sprawdź czy równanie jest równaniem okręgu.
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+2x+6y+12=0}\)

3) Dany jest punkt \(\displaystyle{ P(2,7)}\). Wyznacz na osi \(\displaystyle{ Ox}\) taki punkt \(\displaystyle{ R}\) aby \(\displaystyle{ |PR|= \sqrt{74}}\)

4) Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzoną z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) mając dane:
\(\displaystyle{ A(-4,1)}\)
\(\displaystyle{ B(0,5)}\)
\(\displaystyle{ C(2,-2)}\)

5) Oblicz obwód i pole kwadratu, którego przekątną jest odcinek \(\displaystyle{ AC}\), jeśli
\(\displaystyle{ A(2,4)}\)
\(\displaystyle{ C(6,-2)}\)

6) Wyznacz na osi \(\displaystyle{ Ox}\) punkt o nieujemnych współrzędnych odległy o \(\displaystyle{ 3}\) od punktu \(\displaystyle{ A(1,1)}\)

7) Wyznacz na osi \(\displaystyle{ Ox}\) punkt \(\displaystyle{ P}\) równo oddalony od punktów
\(\displaystyle{ A(-2;2)}\)
\(\displaystyle{ B(1;5)}\)

8) Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek \(\displaystyle{ AB}\), gdzie
\(\displaystyle{ A(1;2)}\)
\(\displaystyle{ B(7;2)}\)

9) Wskaż, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) o wierzchołkach
\(\displaystyle{ A(-2;1)}\)
\(\displaystyle{ B(4;4)}\)
\(\displaystyle{ C(-5;6)}\)
jest prostokątny.


To jest bardzo pilne.
Błagam o pomoc...

w 1 wystarczy napisać równanie okręgu \(\displaystyle{ (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2}\) teraz wystarczy podstawić współrzędne punktu S i P i obliczyć promień

W 3 współrzędne punktu R to \(\displaystyle{ (x_{R},0)}\). Z wzoru na odległość punktów masz
\(\displaystyle{ \sqrt{74} =d= \sqrt{((7-0)^{2}+(2-x_{R})^{2}}}\)
i masz do rozwiązania równanie, które będzie miało 2 rozwiązania.-- 23 sierpnia 2009, 13:59 --W 9 liczysz odległości wierzchołków, czyli długości boków. Potem sprawdzasz, że spełniają równanie \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\) i na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa otrzymujesz tezę.

2) Przekształć do postaci: \(\displaystyle{ (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2}\)
3) Pkt. \(\displaystyle{ R}\) leży na \(\displaystyle{ OX}\), czyli musi mieć współrzędne: \(\displaystyle{ (a,0)}\). Wzór na odległość pkt. znasz, a jak nie to zajrzyj do kart wzorów.
4) Z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) spada prostopadle na odcinek \(\displaystyle{ AB}\). Czyli musisz wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ A\ i\ B}\), która przechodzi przez \(\displaystyle{ C}\).
5)Jeżeli bok kwadratu ma dł. \(\displaystyle{ a}\), to jego pole wynosi....? Jeżeli przekątna kwadratu ma dł. \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\), to pole kwadratu wynosi...?
6) Analogicznie do 3)
7) jak 3) i 6), tyle, że będziesz musiał przyrównać do siebie 2 odległości.
8) środek prostej \(\displaystyle{ AB}\) to środek okręgu. Połowa średnicy to promień.
9) udowodnij, że pewne dwie proste (zawierające boki tego trójkąta) są prostopadłe. Możesz sobie narysować rys. pomocniczy.



Pozdrawiam.

Co do pierwszego zadania to ostateczny wynik (równanie okręgu) będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ (-1+3)^{2}+(3+1)^{2}=20}\) ?-- 23 sie 2009, o 14:27 --A w 2 zadaniu, jeśli \(\displaystyle{ r=0}\) to wtedy nie jest równanie okręgu, tak?

Co do pierwszego zadania to ostateczny wynik (równanie okręgu) będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ (-1+3)^{2}+(3+1)^{2}=20}\) ?

A czy "\(\displaystyle{ (-1+3)^{2}+(3+1)^{2}=20}\)" to jest równanie okręgu?

w 2 zadaniu, jeśli r=0 to wtedy nie jest równanie okręgu, tak?

Tak.

Mam pytanie:
Jak wyliczyć algebraicznie układ równań z równaniem okręgu i prostej? Graficznie rozwiązałem.
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x=-4\\x^{2}+y^{2}=16\end{cases}}\)

Albo z parabolą i prostą?
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x^{2}+3\\y=4x+1\end{cases}}\)

Z parabolą i prostą to po prostu do pierwszego równania wstawiasz y który juz masz wyznaczony z drugiego i masz rownanie kwadratowe z jadna niewiadoma x. Wyliczasz rozwiązania i wstawiasz, zeby znalezc y. Pierwsze analogicznie.

Pierwsze podobnie. Z pierwszego równania wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) a potem wstawić do 2. Dalej f. kwadratowa.



Pozdrawiam.

Z parabolą sobie poradziłem.
Ale nadal niestety nie mogę zrozumieć jak rozwiązać to z okręgiem... Może bardziej łopatologicznie?

\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x=-4\\x^{2}+y^{2}=16\end{cases}}\)
Wyznaczamy z pierwszego równania powiedzmy \(\displaystyle{ y}\) i podstawiamy do 2. równania.
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-4\\x^{2}+(x-4)^{2}=16\end{cases}}\)


Pozdrawiam.

Z tego równania wychodzi mi \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) \(\displaystyle{ x_{2}=4}\)
Z metody graficznej wychodzi, że \(\displaystyle{ x=4}\) \(\displaystyle{ y=-4}\)
Ale podstawiając pod \(\displaystyle{ y-x=-4}\) nic nie pasuje

Z tego równania wychodzi mi x_{1}=0 x_{2}=4
Z metody graficznej wychodzi, że x=4 y=-4
Ale podstawiając pod y-x=-4 nic nie pasuje

Pamiętaj co Ci wychodzi. Rozwiązaniami są pkt. \(\displaystyle{ (x_1,y_1),\ (x_2,\ y_2)}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x_1=0}\), to z 1. równania otrzymujesz: \(\displaystyle{ y_1=-4}\); \(\displaystyle{ x_{2}=4 \Rightarrow y_2=0}\), bo masz 2 pkt. przecięcia.


Pozdrawiam.

Pytanie odnośnie zadania 8
\(\displaystyle{ r=3}\)
Ale jak wyznaczyć środek okręgu? Wiadomo, że znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (4,2)}\) ale jak to wyliczyć?

Piotr59mb pisze:8) Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek \(\displaystyle{ AB}\), gdzie
\(\displaystyle{ A(1;2)}\)
\(\displaystyle{ B(7;2)}\)

Piotr59mb pisze:Pytanie odnośnie zadania 8
\(\displaystyle{ r=3}\)
Ale jak wyznaczyć środek okręgu? Wiadomo, że znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (4,2)}\) ale jak to wyliczyć?

Współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych jego końców.