Matematyka.pl

Znaleźć równania stycznych do elipsy \(\displaystyle{ 5x^{2} + 4y^{2} = 20}\) równoległe do prostej \(\displaystyle{ k: 2x - 6y +5 = 0}\).

Próbowałem tak:
1. Obliczyłem współczynnik kierunkowy prostej k, otrzymałem (\(\displaystyle{ 1/3}\))
2. Porównałem do współczynnika kierunkowego stycznej w \(\displaystyle{ P(x _{0},y_{0}}\) )
otrzymałem stąd równość: \(\displaystyle{ 1/3 = - \frac{5x_{0}}{4y_{0}} \Leftrightarrow - \frac{4}{15}y_{0} =x_{0}}\)
3. Podstawiłem \(\displaystyle{ x_{0}}\) do równania elipsy skąd: \(\displaystyle{ \frac{54}{49}y_{0} = 5 \Rightarrow |y_{0}| = \frac{7}{3} \sqrt{ \frac{5}{6}}}\).
4. Podstawiłem dwie możliwe wartości \(\displaystyle{ y_{0}}\) do równania \(\displaystyle{ - \frac{4}{15}y_{0} =x_{0}}\).
5. Otrzymałem w ten sposób współrzędne dwóch punktów w których szukane proste przecinają elipsę.
Podstawiłem te współrzędne do wzoru na równanie prostej o wpółczynniku kierunkowym\(\displaystyle{ 1/3}\) do której należy dany punkt.

Problem polega na tym że w równaniach tych prostych mam \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\) pod pierwiastkiem, a w odpowiedziach w równaniach szukanych prostych żadnych pierwiastków nie ma.

coś nie tak

skoro masz równanie prostej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}x+b}\) która jest styczną to układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\frac{1}{3}x+b \\ 5x^2+4y^2=20 \end{cases}}\)
spełnia tylko jeden punkt.
Czyli technicznie wstawiasz za y równanie prostej i z wyznaczonego równania delta równa się 0.

1.Na ludzki rozum jeśli mam daną elipse i prostą to wtedy mogę narysować dwie styczne do elipsy równoległe do danej prostej.
2. W odpowiedziach są dwa różne równania stycznych.
3. Próbowałem już wcześniej rozwiązywać twój układ równań, ale obliczenia wydawały mi się troszkę zbyt skomplikowane...

nie czytasz tego co ja napisałem
zestawisz te równania dostajesz
\(\displaystyle{ 5x^2+4(\frac{1}{3}x+b)^2-20=0}\) z tego musisz policzyć deltę przyrównać ją do 0 i wyznaczyć współczynnik b.

Przyrównałem tą delte do zera i dostałem współczynnik b w bardzo nie ciekawej postaci (równanie drugiego stopnia pod pierwiastkiem).

Czy nie mógłbyś sprawdzić mojego 5-cio punktowego rozwiązania?

Ze sposobu (najbardziej oczywisty) podanego przez @nuclear powinieneś dostać :

\(\displaystyle{ b= \pm \frac{7}{3}}\)

Dziękuje za pomoc i przepraszam ze troszkę namieszałem.

\(\displaystyle{ 5x^{2} + 4( \frac{1}{3}x + b )^{2} = 20}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2} + 4( \frac{1}{9}x^{2} + \frac{2}{3}xb+ b^{2} ) - 20 = 0}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2} + \frac{4}{9}x^{2} + \frac{8}{3}xb + 4b^{2} - 20 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{49}{9}x^{2} + \frac{8}{3}xb + 4b^{2} - 20 = 0 \backslash \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ \frac{49}{3}x^{2} + 8bx + 3(4b^{2} - 20) = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 0 \Leftrightarrow 64b^{2} = 4 \cdot 49(4b^{2} - 20) \backslash :16}\)
\(\displaystyle{ 4b^{2} = \cdot 49(b^{2} - 5) \backslash :5}\)
\(\displaystyle{ 9b^{2} = 49 \Leftrightarrow b = \pm \frac{7}{3}}\)