Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x-y+f(y))=f(x)+f(y) \\
f(x)-f(y)+f(f(y))=f(x)+f(y) \\
f(f(y))=2f(y) \\
f(y)=f^{-1}(2f(y))=2y}\)
czyli nasza funkcja to f(x)=2x (dla innego wyrazu wolnego niż 0 "nie działa")
Łatwo pokazać że to jedyna funkcja liniowa (stałe poza f(x)=0 i przy innym współczynniku kierunkowym odpadają)

\(\displaystyle{ f(x-y+f(y)) = f(x) + f(y) \Leftrightarrow f(x) - f(y) + f(f(y)) = f(x) + f(y) \ czyli \ f(f(y)) = 2f(y) \ połóżmy \ z = f(y) \ i \ mamy: \ f(z) = 2z}\) Czyli funkcja liniowa o współczynniku 2.

Co się dzieje, gdy funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe? A co, gdy ma więcej?

Jeżeli zachodzi implikacja \(\displaystyle{ f(c)=0\Rightarrow c=0}\), to wobec \(\displaystyle{ f(2t-f(t))=0}\) mamy \(\displaystyle{ f(t)=2t}\) dla każdego \(\displaystyle{ t.}\) W przeciwnym wypadku istnieje \(\displaystyle{ c\neq 0}\) takie, że \(\displaystyle{ f(c)=0.}\) Podstawiając \(\displaystyle{ y=c}\) dostajemy okresowość funkcji: \(\displaystyle{ f(x-c)=f(x).}\) Pamiętając, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb całkowitych wnioskujemy, że przyjmuje ona co najwyżej \(\displaystyle{ |c|}\) różnych wartości, w szczególności istnieje wartość największa \(\displaystyle{ M}\) i najmniejsza \(\displaystyle{ m.}\) Niech \(\displaystyle{ f(a)=M,\ f(b)=m.}\) Podstawiając \(\displaystyle{ x=y=a}\) mamy \(\displaystyle{ f(f(a))=2M}\), czyli \(\displaystyle{ M\geq 2M}\), a więc \(\displaystyle{ M\leq 0.}\) Podstawiając \(\displaystyle{ x=y=b}\) otrzymujemy analogicznie \(\displaystyle{ m\geq 0.}\) Stąd \(\displaystyle{ M=m=0}\) i \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x.}\) Łatwo stwierdzić, że obie znalezione funkcje spełniają dane równanie.

przekształcam to sobie tak:
\(\displaystyle{ f(x+(f(y)-y))-x-(f(y)-y)=(f(x)-x)+y}\)
funkcja pomocnicza \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) daje nam:
\(\displaystyle{ g(x+g(y))=g(x)+y}\)- wygląda dużo lepiej
potem nietrudny dowód że \(\displaystyle{ g(0)=0}\) co daje nam \(\displaystyle{ g(g(y))=y}\). podstawiamy \(\displaystyle{ y:=g(y)}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ g(x+y)=g(x)+g(y)}\)
więc \(\displaystyle{ g}\) jest liniowa (nie będę tego dowodził, już pare razy pojawiał sie na forum) i łatwo już dojść do dwóch rozwiązań: \(\displaystyle{ f(x)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=2x}\)

Funkcja tożsamościowo równa zero spełnia równanie, załóżmy, że \(\displaystyle{ f \not \equiv 0}\) Załóżmy, że istnieje takie \(\displaystyle{ c_1 \neq 0}\), że \(\displaystyle{ f(c_1)=0}\). Wtedy czyli funkcja jest okresowa, więc ma skończony zbiór wartości. Oczywiście \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\), bo wtedy np. \(\displaystyle{ c_1=1}\) i funkcja jest zerowa.
Niech \(\displaystyle{ a=f(1)}\). Wtedy Czyli \(\displaystyle{ f(ka)=2ka}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\). Zatem zbiór wartości nie jest ograniczony, czyli funkcja nie może być okresowa. Mamy zatem Podstawmy Łatwo sprawdzamy, że funkcja \(\displaystyle{ \red f(x)=2x}\) spełnia warunki zadania.