Matematyka.pl

1) Rozwiązać w liczbach całkowitych:
\(\displaystyle{ (2- \frac{1}{x})(2- \frac{1}{y})=3}\)
2) \(\displaystyle{ [x]= \frac{9}{10}x+1}\)

Prosiłbym o jakieś fajne rozwiązania, bo moje wydają mi sie mało pomysłowe:P

3=1*3
3=-1*(-3)

To x i y mają być całkowite, nie te nawiasy.

pawelsuz pisze:To x i y mają być całkowite, nie te nawiasy.

łooops, przepraszam, zaraz spróbuję napisać coś mądrzejszego

Ad. 2
Moje rozwiązanie chyba nie jest ciekawe, ale trudno.

\(\displaystyle{ x \ge [x]>x-1 \Rightarrow x \in (10; 20)}\)

Dalej trzeba rozpatrywać przypadki: \(\displaystyle{ x \in (10,11), x \in <11, 12), itd.}\) Kilka z nich można odrzucić od razu, jeśli rozwiązanie ma byc całkowite.

-- 11 sierpnia 2009, 20:42 --

Ad. 1. Po przekształceniach: \(\displaystyle{ (x-2)(y-2)=3}\) Stąd rozwiązania: (-1,1), (1,-1), (5,3), (3,5)

To już szybciej poszło z wykresu,ale i tak dzięki:D Poczekam na inne propozycje:P

2. Oczywiście można łatwo wykazać, że: \(\displaystyle{ x \in <10,20)}\).
Stąd:\(\displaystyle{ \left[x \right] \in {10,11,..19}}\). Przekształcamy równanie do postaci:
\(\displaystyle{ x=\frac{10}{9}(\left[x \right]-1)}\) i w ten sposób sprawdzamy, że:
\(\displaystyle{ x \in \left{10,100/9,110/9,...,170/9\right}}\)