Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int \ln^2x\ dx = x\ln^2x - 2\int \ln x\ dx = x\ln^2x - \frac{2}{x} + C}\)

Podręcznik mówi, że nie mam racji, a ja jestem prawie pewien, że mam Proszę o odpowiedź.

Zrożniczkuj swoją odpowiedz i zobacz czy wyszlo Ci to samo co jest pod całką. Wyszlo?;] Bo ja już widzę, że jest źle;]

Wg. moich obliczeń to nie, ale też nie jestem pewien moich umiejętności w tej dziedzinie. Proszę więc o właściwe rozwiązanie (metodą całkowania przez części)

Całka z \(\displaystyle{ \ln x}\) nie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) (tyle wynosi pochodna). Całka wynosi \(\displaystyle{ x \ln x -x}\). To, co trzeba, liczysz tak: całkowanioe przez części \(\displaystyle{ u=\ln x}\), \(\displaystyle{ v'=\ln x}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ \int_{}^{} uv' dx=uv-\int_{}^{} u'v dx}\). Ponieważ \(\displaystyle{ v'=\ln x}\), to \(\displaystyle{ v= \int_{}^{} \ln x dx=x\ln x -x}\). Zatem \(\displaystyle{ \int_{}^{} \ln^2 x dx=\ln x(x\ln x-x)-\int_{}^{} (x\ln x-x) \cdot \frac{1}{x}dx = ln x(x\ln x-x)-\int_{}^{} (ln x-1) dx=\ln x(x\ln x-x)-(x\ln x -x -x)= x\ln^2 x-2x\ln x+2x}\)

KPR pisze:Całka z \(\displaystyle{ \ln x}\) nie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) (tyle wynosi pochodna)

I wszystko jasne, ach te upały Dzięki.

\(\displaystyle{ \ \int{1 \cdot \ln^{2}{x} \mbox{d}x }=x\ln^{2}{x}-2 \int{\ln{x} \cdot x\cdot \frac{1}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =x\ln^{2}{x}-2 \int{1\cdot \ln{x}}=x\ln^{2}{x}-2 \left(x\ln{x}- \int{ \frac{1}{x}\cdot x \mbox{d}x } \right)=x\ln^{2}{x}-2 \left(x\ln{x}-x \right)=x\ln^{2}{x}-2x\ln{x}+2x+C}\)