Matematyka.pl

Prosiłbym o wyjaśnienie poniższego przekształcenia:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{2x dx}{1 + x^2} = \frac{1}{2}\int(\ln(1 + x^2))' dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C}\)

Czy to jest zrobione zgodnie z jakimś magicznym wzorem, którego nie udało mi się znaleźć?

To środkowe przejście nie jest potrzebne, korzystając ze wzoru przedstawionego powyżej od razu podaje się wynik.

Dziękuję.. a oto kolejne tajemnicze dla mnie przekształcenie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}x^3\arctg x+\frac{1}{3}\int x^3\frac{1}{1+x^2}dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{3}x^3\arctg x+\frac{1}{3}\int xdx+\frac{1}{3}\int \frac{xdx}{1+x^2}}\)

Poproszę o wyjaśnienie.

Przekształcenie, które podałeś, nie jest dobrze wykonane. Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\int\frac{x^3\mbox{d}x}{x^2+1}=\frac{1}{3}\int\frac{x^3+x-x}{x^2+1}\mbox{d}x=\frac{1}{3}\int\frac{(x^2+1)x-x}{x^2+1}\mbox{d}x=...}\)

Faktycznie, pomyliłem znak między pierwszą i drugą całką. Dzięki, już rozumiem
Edit: Tfu, pomyliłem oczywiście znak przed pierwszą całką.

-- 1 sie 2009, o 08:42 --

Szukałem analogii do pierwszego przykładu, ale nie udało mi się. Jak to zostało przekształcone?

\(\displaystyle{ x\arcsin x-\int x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=x\arcsin x-\int (\sqrt{1-x^2})'=}\)

\(\displaystyle{ =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\cdot\sqrt{1-x^2}}\cdot(1-x^2)'=\frac{-2x}{2\cdot\sqrt{1-x^2}}=-x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
Korzystamy z wzoru na pochodną funkcji złożonej, i z faktu, że \(\displaystyle{ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)