losowanie drużyn, prawdopodobieństwo
: 27 lip 2009, o 10:55
Do mistrzostw Europy w piłce nożnej kwalifikuje się 16 drużyn. Oznaczmy je symbolami: \(\displaystyle{ D_1}\),\(\displaystyle{ D_2}\),\(\displaystyle{ D_3}\),...,\(\displaystyle{ D_{16}}\). Komisja UEFA rozdziela je do czterech koszyków na podstawie rankingu osiągnięć na arenie międzynarodowej. Załóżmy, że:
-w koszyku I znalazły się drużyny \(\displaystyle{ D_1}\),\(\displaystyle{ D_2}\),\(\displaystyle{ D_3}\),\(\displaystyle{ D_4}\)
-w koszyku II - drużyny \(\displaystyle{ D_5}\),\(\displaystyle{ D_6}\),\(\displaystyle{ D_7}\),\(\displaystyle{ D_8}\)
-w koszyku III - drużyny \(\displaystyle{ D_9}\),\(\displaystyle{ D_{10}}\),\(\displaystyle{ D_{11}}\),\(\displaystyle{ D_{12}}\)
-w koszyku IV - drużyny \(\displaystyle{ D_{13}}\),\(\displaystyle{ D_{14}}\),\(\displaystyle{ D_{15}}\),\(\displaystyle{ D_{16}}\)
Z każdego koszyka Komisja losuje jedną drużynę i z wylosowanych drużyn tworzy pierwszą grupę eliminacyjną. Kontynuując opisane losowanie, Komisja ustala cztery grupy eliminacyjne, w których każda drużyna gra z każdą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
A - drużyny \(\displaystyle{ D_1}\),\(\displaystyle{ D_5}\),\(\displaystyle{ D_9}\),\(\displaystyle{ D_{13}}\) utworzą pierwszą grupę eliminacyjną
B - drużyny \(\displaystyle{ D_2}\) i \(\displaystyle{ D_{10}}\) rozegrają mecz w eliminacjach
C - drużyny \(\displaystyle{ D_1}\) i \(\displaystyle{ D_{16}}\) nie spotkają się w eliminacjach
No więc, z treści zadania wynika, że kolejność grup ma znaczenie. Więc wg. mnie omega powinna być równa \(\displaystyle{ 4^4\cdot3^4\cdot2^3\cdot1^4}\), natomiast autor twierdzi, że \(\displaystyle{ 4^3\cdot3^3\cdot2^3\cdot1^3}\), co by się zgadzało w przypadku, gdyby kolejność grup nie miała znaczenia. Dalej, moc A wg. autora jest równa 1, co wg. mnie też jest błędne. Moc B wg. mnie \(\displaystyle{ 4^2\cdot3^4\cdot2^4\cdot1^4}\), w książce jest \(\displaystyle{ 4^2\cdot3^3\cdot2^3\cdot1^3}\). Klasyczne pytanie, kto ma rację?
-w koszyku I znalazły się drużyny \(\displaystyle{ D_1}\),\(\displaystyle{ D_2}\),\(\displaystyle{ D_3}\),\(\displaystyle{ D_4}\)
-w koszyku II - drużyny \(\displaystyle{ D_5}\),\(\displaystyle{ D_6}\),\(\displaystyle{ D_7}\),\(\displaystyle{ D_8}\)
-w koszyku III - drużyny \(\displaystyle{ D_9}\),\(\displaystyle{ D_{10}}\),\(\displaystyle{ D_{11}}\),\(\displaystyle{ D_{12}}\)
-w koszyku IV - drużyny \(\displaystyle{ D_{13}}\),\(\displaystyle{ D_{14}}\),\(\displaystyle{ D_{15}}\),\(\displaystyle{ D_{16}}\)
Z każdego koszyka Komisja losuje jedną drużynę i z wylosowanych drużyn tworzy pierwszą grupę eliminacyjną. Kontynuując opisane losowanie, Komisja ustala cztery grupy eliminacyjne, w których każda drużyna gra z każdą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
A - drużyny \(\displaystyle{ D_1}\),\(\displaystyle{ D_5}\),\(\displaystyle{ D_9}\),\(\displaystyle{ D_{13}}\) utworzą pierwszą grupę eliminacyjną
B - drużyny \(\displaystyle{ D_2}\) i \(\displaystyle{ D_{10}}\) rozegrają mecz w eliminacjach
C - drużyny \(\displaystyle{ D_1}\) i \(\displaystyle{ D_{16}}\) nie spotkają się w eliminacjach
No więc, z treści zadania wynika, że kolejność grup ma znaczenie. Więc wg. mnie omega powinna być równa \(\displaystyle{ 4^4\cdot3^4\cdot2^3\cdot1^4}\), natomiast autor twierdzi, że \(\displaystyle{ 4^3\cdot3^3\cdot2^3\cdot1^3}\), co by się zgadzało w przypadku, gdyby kolejność grup nie miała znaczenia. Dalej, moc A wg. autora jest równa 1, co wg. mnie też jest błędne. Moc B wg. mnie \(\displaystyle{ 4^2\cdot3^4\cdot2^4\cdot1^4}\), w książce jest \(\displaystyle{ 4^2\cdot3^3\cdot2^3\cdot1^3}\). Klasyczne pytanie, kto ma rację?