Matematyka.pl

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają równość

\(\displaystyle{ \left( \frac{a ^{2}+b ^{2} }{4ab}\right) ^{0} + \left( \frac{a ^{2}+b ^{2}}{4ab}\right) ^{1} +...+\left( \frac{a ^2+b ^2}{4ab}\right) ^{2000} =1,999.}\)

Udowodnij, że iloczyn tych liczb jest ujemny.
Proszę o wskazówkę.

Zaczynam od podstawienia \(\displaystyle{ x=\frac{a ^{2}+b ^{2} }{4ab}}\)
Wtedy jest:

\(\displaystyle{ x +x ^{2} +x ^{3} ...+ x^{2000}=0,999}\)

Teraz skorzystaj z wzoru na sumę liczb ciągu geometrycznego.

a dalej można dowodem nie wprost

Dobrze jest zapamiętać taką prostą nierówność:
Jeśli a,b są tego samego znaku, to:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2}\)

Czyli zakładam, że ten iloczyn jest dodatni, czyli: \(\displaystyle{ S=ab \ge 0}\)
Z wzoru na sumę ciągu geometrycznego wnoszę, że:

\(\displaystyle{ \frac{1- x^{2000} }{1-x}=1,999}\)

Z \(\displaystyle{ x+x ^{2}...+x ^{2000}=0,999}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x \le 1}\)

Od razu wynika, że \(\displaystyle{ x \ge x ^{2000}}\)
Jednak tutaj się gubię...

Prawie dobrze. Słusznie \(\displaystyle{ x<1}\), teraz jeszcze wzór \(\displaystyle{ \frac{1-x^{2000}}{1-x}=1,999}\) przekształć do postaci \(\displaystyle{ W(x)=0}\) i pokaż, że ten wielomian nie ma pierwiastków dodatnich.

No to metoda 2. Przypuśćmy, że są tego samego znaku, a potem korzystamy z nierówności podanej przez Zordona, czyli: \(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{2}}\)

Wówczas:
\(\displaystyle{ 1,999=P=L=1+x+\ldots+x^{2000} \ge \\ \ge 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{2000}}=1+\frac{2^{2000}-1}{2^{2000}}= 2-\frac{1}{2^{2000}}}\)

Wystarczy wykazać, że: \(\displaystyle{ 2-\frac{1}{2^{2000}}>2-0,001}\), wówczas dojdziesz do sprzeczności.

O.K już prawie łapię. Jeszcze dwa pytania. Do freja

Jeżeli już wykażę, że ten wielomian nie ma pierwiastków dodatnich to będzie oznaczało, że \(\displaystyle{ ab \le 0}\)?

Do Sylwka

Też kombinowałem z tą nierównością \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2}\). Jak doszedłeś z tej nierówności do \(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{2}}\)

Oczywiście, dzięki za wskazówki. Wykonujecie świetną robotę.

Pozdrawiam

Może wyręczę kolegów :]

\(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 0 \Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{4ab} \le 0 \Rightarrow ab \le 0 \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab} \ge 2 \Rightarrow x=\frac{a^2+b^2}{4ab} \ge \frac{2}{4}=\frac{1}{2}}\)

OK, wielkie dzięki!

Pozdrawiam