Matematyka.pl

Zacięłem się przy zadaniu...

Znaleźć wszystkie funkcje f odwzorujące R na zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych takie że \(\displaystyle{ \forall x \in R: f(f(x))=f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \forall x \in R: f(x)=f(-x)}\)
(H. Pawłowski "Zadania z matematyki dla olimpijczyków - gimnazjalistów i licealistów", str. 153)

Od razu widać że wartość bezwzględna; ale funkcja określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\) dla \(\displaystyle{ x \in R-\{-2,-1,1,2\}}\) oraz przez równości \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)=2, f(2)=f(-2)=1}\) też spełnia. Liczby 1 i 2 możnaby zastąpić czym innym, możnaby dodać więcej takich punktów.

Kłopot w tym, że nie ma tutaj (jak widać) nic o monotoniczności, ciągłości, różniczkowalności czy podobnym. Wiadomo tylko że jest 'na'. Ale nawet gdyby było dane któreś z tych założeń nie wiem co robić.

ta Twoja druga funkcja nie spełnia założeń, weź f(f(-2)) to zobaczysz.
Jeśli równanie:
\(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)}\)
Zróżniczkujesz stronami (wyciągniesz pochodną) i zastosujesz wzór na pochodną funkcji złożonej otrzymasz:
\(\displaystyle{ f'(f(x))f'(x)=f'(x)}\)
czyli f'(x)=0 lub f'(f(x))=1
A dalej już chyba bez problemu jak zabierasz się za olimpiadę

Olo pisze:Zróżniczkujesz stronami (wyciągniesz pochodną)

jakim prawem?

no niestety bezprawnie:), brakuje mi tego założenia o różniczkowalności.

rozwazmy sobie \(\displaystyle{ f_+}\) - \(\displaystyle{ f}\) zawezone do \(\displaystyle{ [0,\infty)}\). pokazemy, ze taka funkcja tez jest surjekcja. wiadomo, ze \(\displaystyle{ \forall_{y \in [0,\infty )} \exists_{x \in\mathbb{R}} f(x) = f(-x) = y}\). z tego bezposrednio wynika, ze bso mozemy przyjac \(\displaystyle{ x \in [0,\infty)}\), co bezposrednio implikuje surjektywnosc \(\displaystyle{ f_+}\). naturalnie zachodzi \(\displaystyle{ f_+(f_+(x)) = f_+(x)}\) gdy \(\displaystyle{ x \geq 0}\). skoro \(\displaystyle{ f_+(x)}\) moze byc dowolna liczba rzeczywista nieujemna, to mozemy sobie podstawic \(\displaystyle{ t \equiv f_+(x)}\), przy czym jedyna restrykcja na \(\displaystyle{ t}\) jest \(\displaystyle{ t \geq 0}\). no to mamy \(\displaystyle{ f_+(t) = t}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) = |x|}\).

tfu, rzeczywiście trywialne, pomyliłem warunek dany w zadaniu z \(\displaystyle{ f(f(x))=x}\) i stąd ten cały bałagan. dzięki.